Para cada uma das seguintes matrizes simétricas
, encontrar uma matriz ortogonal
, para a qual
seja diagonal:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz simétrica
e precisamos encontrar uma matriz ortogonal
tal que
seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica sempre pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal. Isso significa que encontramos autovalores e autovetores de
e organizamos os autovetores de forma ortonormal para formar a matriz
.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovalores de
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando o determinante:
Desenvolvendo:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Escolhemos
, então
. O autovetor é
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Escolhemos
, então
. O autovetor é
.
Passo 5
Agora, precisamos normalizar os autovetores para que tenham comprimento 1 (ou seja, sejam vetores unitários). A normalização é feita dividindo cada vetor pela sua norma.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora que temos os autovetores normalizados
e
, vamos formar a matriz ortogonal
colocando esses vetores como colunas:
Para verificar, podemos calcular
e observar que é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
A matriz ortogonal
que diagonaliza
é: