Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para a qual P^t AP seja diagonal:
A=[rr3 & -1 -1 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz simétrica 3 & -1 -1 & 3 e precisamos encontrar uma matriz ortogonal tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica sempre pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal. Isso significa que encontramos autovalores e autovetores de e organizamos os autovetores de forma ortonormal para formar a matriz .

Passo 3

Vamos começar encontrando os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
det 3 - lambda & -1 -1 & 3 - lambda = (3 - lambda)^2 - (-1)^2 = (3 - lambda)^2 - 1 = 0
Onde (3 - lambda)^2 = 1 Rightarrow 3 - lambda = pm 1 é a matriz identidade e lambda1 = 3 + 1 = 4 lambda2 = 3 - 1 = 2 representa os autovalores. Calculando o determinante:
Desenvolvendo:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -1 & -1 -1 & -1 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos - v1 - v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2 :
-1 1
Isso nos dá a equação:
1 & -1 -1 & 1 v1 v2 = 0 0
Escolhemos v1 - v2 = 0 Rightarrow v1 = v2 , então 1 1 . O autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Escolhemos , então . O autovetor é .

Passo 5

Agora, precisamos normalizar os autovetores para que tenham comprimento 1 (ou seja, sejam vetores unitários). A normalização é feita dividindo cada vetor pela sua norma.
Para -1 1 :
Norma = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2 u1 = 1raiz2 -1 1 = -1raiz2 1raiz2
Para 1 1 :
Norma = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 u2 = 1raiz2 1 1 = 1raiz2 1raiz2

Passo 6

Agora que temos os autovetores normalizados P = -1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 e P^T A P = 4 & 0 0 & 2 , vamos formar a matriz ortogonal colocando esses vetores como colunas:
Para verificar, podemos calcular e observar que é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

A matriz ortogonal P = -1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 que diagonaliza é:

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