Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
{x = -1 + t^2, y = 2 - t^2, t em R}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com equações paramétricas. Isso significa que temos duas equações, uma para e outra para , todas em função de um parâmetro, que nesse caso é o . Nosso objetivo é esboçar a curva que essas equações representam e transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relaciona e diretamente, sem o .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações paramétricas que temos:
O que queremos é eliminar o parâmetro para obter uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos começar resolvendo uma das equações para . A primeira equação está mais fácil para isso:
Agora que temos em termos de , podemos substituir esse valor na segunda equação.

Passo 4

Substituindo na segunda equação:
Então, a relação entre e é:

Passo 5

Agora que temos a equação cartesiana , podemos esboçar a curva. Essa é uma reta com coeficiente angular e intercepto em igual a . Isso significa que a reta desce da esquerda para a direita, cruzando o eixo no ponto .

Resposta

A equação cartesiana da curva é e a curva é uma reta com declive que intercepta o eixo no ponto .

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