Considere a função
. Determine as assíntotas horizontais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar as assíntotas horizontais dela. Isso está relacionado ao estudo de limites e comportamento de funções quando
tende ao infinito ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota horizontal. É uma linha horizontal que a função se aproxima conforme
vai para mais ou menos infinito. Para encontrar, a gente calcula o limite de
quando
tende a
e a
.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite de
quando
tende a
:
Observamos que, para grandes valores de
, termos como
dominam sobre o 1 dentro da raiz.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a função fica aproximadamente:
Passo 5
Agora, dividimos numerador e denominador por
:
Quando
tende a
,
tende a 0, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a
:
Novamente, dentro da raiz,
domina, mas como
é negativo,
.
Passo 7
Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por
:
Quando
tende a
,
tende a 0, então:
Resposta
As assíntotas horizontais da função
são
e
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
pt.)
Encontre o raio e o intervalo de convergencia da série
, Náo esqueça de verificar a convergência ou divergencia nos extremos do intervalo encontrado.
Dica: .
Dica:
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
k)
k)
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.