Considere a função f(x) = (x - raiz(4 x^2 + 1)) / (2 x + 1). Determine as assíntotas horizontais de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as assíntotas horizontais dela. Isso está relacionado ao estudo de limites e comportamento de funções quando x tende ao infinito ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota horizontal. É uma linha horizontal que a função se aproxima conforme x vai para mais ou menos infinito. Para encontrar, a gente calcula o limite de f(x) quando x tende a +infinito e a -infinito.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite de f(x) quando x tende a +infinito:
Observamos que, para grandes valores de x, termos como dominam sobre o 1 dentro da raiz.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a função fica aproximadamente:

Passo 5

Agora, dividimos numerador e denominador por x:
Quando x tende a +infinito, 1/x tende a 0, então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando x tende a -infinito:
Novamente, dentro da raiz, domina, mas como x é negativo, .

Passo 7

Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por x:
Quando x tende a -infinito, 1/x tende a 0, então:

Resposta

As assíntotas horizontais da função f(x) são e .

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