Considere a função . Determine as assíntotas horizontais de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as assíntotas horizontais dela. Isso está relacionado ao estudo de limites e comportamento de funções quando tende ao infinito ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota horizontal. É uma linha horizontal que a função se aproxima conforme vai para mais ou menos infinito. Para encontrar, a gente calcula o limite de quando tende a e a .

Passo 3

Vamos começar calculando o limite de quando tende a :
Observamos que, para grandes valores de , termos como dominam sobre o 1 dentro da raiz.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a função fica aproximadamente:

Passo 5

Agora, dividimos numerador e denominador por :
Quando tende a , tende a 0, então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende a :
Novamente, dentro da raiz, domina, mas como é negativo, .

Passo 7

Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por :
Quando tende a , tende a 0, então:

Resposta

As assíntotas horizontais da função são e .

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo. pt.)
Encontre o raio e o intervalo de convergencia da série , Náo esqueça de verificar a convergência ou divergencia nos extremos do intervalo encontrado.
Dica: .
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
k)
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.