Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor da função centrada em . Depois disso, vamos conferir se a função original é igual à sua própria série de Taylor. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, derivadas e expansão em série. Vamos passo a passo entender como chegar nessa resposta!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto . A fórmula geral da série de Taylor para uma função centrada em é:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
  1. Quarta derivada:
E assim por diante. Notamos que as derivadas pares em são zero e as ímpares alternam sinais com valores que diminuem.

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a série de Taylor fica:

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
E, sim, para próximos a , a função é igual à sua série de Taylor.

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k)
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b)