Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Depois disso, vamos conferir se a função original é igual à sua própria série de Taylor. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, derivadas e expansão em série. Vamos passo a passo entender como chegar nessa resposta!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto
. A fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
é:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
E assim por diante. Notamos que as derivadas pares em
são zero e as ímpares alternam sinais com valores que diminuem.
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a série de Taylor fica:
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E, sim, para
próximos a
, a função
é igual à sua série de Taylor.
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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
k)
k)
Seja
. Encontre o polinômio de Taylor de terceiro grau para
centrado
.
Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
b)
b)