Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências da forma . Nosso objetivo é determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries de potências.
Passo 2
Vamos reescrever a série para facilitar. Sabemos que é igual a . Então, podemos escrever a série assim:
Isso simplifica nossos cálculos e deixa a série numa forma mais familiar.
Passo 3
Agora, para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. O teste diz que a série converge se:
No nosso caso, .
Passo 4
Vamos calcular a razão :
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Esse valor é o raio de convergência da série.
Passo 6
Com o raio de convergência em mãos, agora determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Precisamos verificar os pontos e .
Para :
A série converge por ser uma série alternada que satisfaz as condições do Teste da Série Alternada.
Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .