Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
k) summ=1^infty cos (m pi)m x^m

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências da forma summ=1^infty cos (m pi)m x^m. Nosso objetivo é determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries de potências.

Passo 2

Vamos reescrever a série para facilitar. Sabemos que cos(mpi) é igual a (-1)^m. Então, podemos escrever a série assim:
summ=1^infty (-1)^mm x^m
Isso simplifica nossos cálculos e deixa a série numa forma mais familiar.

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge. O teste diz que a série sum am converge se:
limm to infty | am+1am | < 1
No nosso caso, am = (-1)^mm x^m.

Passo 4

Vamos calcular a razão | am+1am |:
| (-1)^m+1m+1 x^m+1(-1)^mm x^m | = | mm+1 cdot x | = mm+1 |x|
Agora, calculamos o limite quando m tende ao infinito:
limm to infty mm+1 |x| = |x|

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x| < 1
Esse valor 1 é o raio de convergência da série.

Passo 6

Com o raio de convergência em mãos, agora determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 1. Precisamos verificar os pontos x = 1 e x = -1.
  • Para x = 1:
summ=1^infty (-1)^mm = -ln(2)
A série converge por ser uma série alternada que satisfaz as condições do Teste da Série Alternada.
  • Para x = -1:
summ=1^infty (-1)^mm (-1)^m = summ=1^infty 1m
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é -1 < x <= 1.

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