Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
k)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências da forma . Nosso objetivo é determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries de potências.
Passo 2
Vamos reescrever a série para facilitar. Sabemos que é igual a . Então, podemos escrever a série assim:
Isso simplifica nossos cálculos e deixa a série numa forma mais familiar.
Passo 3
Agora, para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. O teste diz que a série converge se:
Agora, calculamos o limite quando m tende ao infinito:
limm to infty mm+1 |x| = |x|
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x| < 1
Esse valor 1 é o raio de convergência da série.
Passo 6
Com o raio de convergência em mãos, agora determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 1. Precisamos verificar os pontos x = 1 e x = -1.
Para x = 1:
summ=1^infty (-1)^mm = -ln(2)
A série converge por ser uma série alternada que satisfaz as condições do Teste da Série Alternada.
Para x = -1:
summ=1^infty (-1)^mm (-1)^m = summ=1^infty 1m
Essa é a série harmônica, que diverge.
Resposta
O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é -1 < x <= 1.