Seja
. Encontre o polinômio de Taylor de terceiro grau para
centrado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de terceiro grau para a função
, centrado em
. Isso faz parte do estudo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar cada uma delas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de grau
centrado em
:
No nosso caso,
, então vamos precisar das derivadas até a terceira ordem.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Como a função é um polinômio de grau 2, as derivadas de ordem superior serão zero.
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada no ponto
:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de terceiro grau para
centrado em
é:
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