Seja . Encontre o polinômio de Taylor de terceiro grau para centrado .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de terceiro grau para a função , centrado em . Isso faz parte do estudo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar cada uma delas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de grau centrado em :
No nosso caso, , então vamos precisar das derivadas até a terceira ordem.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
Como a função é um polinômio de grau 2, as derivadas de ordem superior serão zero.

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada no ponto :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de terceiro grau para centrado em é:

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Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
d)
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
b)
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a)