Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
{x = sec(t), y = tg(t), t in (-pi/2, pi/2)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um par de equações paramétricas onde e , e o parâmetro varia entre e . Nossa missão é desenhar essa curva e descobrir qual é a equação dela no plano cartesiano, ou seja, sem o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são e . Sabemos que:
Então, podemos reescrever as equações como:

Passo 3

Vamos tentar eliminar o parâmetro para encontrar uma relação só entre e . Da equação de , temos:

Passo 4

Agora, substituímos na equação de :
Ou seja:

Passo 5

Lembramos da identidade trigonométrica fundamental:

Passo 6

Substituímos e pelas expressões em termos de e :
Que fica:

Passo 7

Multiplicamos tudo por para simplificar:
Rearranjando:

Resposta

A equação cartesiana da curva é , que representa uma hipérbole.

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