Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um par de equações paramétricas onde e , e o parâmetro varia entre e . Nossa missão é desenhar essa curva e descobrir qual é a equação dela no plano cartesiano, ou seja, sem o parâmetro .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são e . Sabemos que:
Então, podemos reescrever as equações como:
Passo 3
Vamos tentar eliminar o parâmetro para encontrar uma relação só entre e . Da equação de , temos:
Passo 4
Agora, substituímos na equação de :
Ou seja:
Passo 5
Lembramos da identidade trigonométrica fundamental:
Passo 6
Substituímos e pelas expressões em termos de e :
Que fica:
Passo 7
Multiplicamos tudo por para simplificar:
Rearranjando:
Resposta
A equação cartesiana da curva é , que representa uma hipérbole.