Encontre todos os valores de a e b que tornam a função contínua em ( -infinito, infinito).
f(x) = { (x^2 - 4) / (x - 2), x < 2; a x^2 - b x + 3, 2 <= x <= 3; 2 x - a + b, x > 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todo o intervalo de a . Isso significa que não pode ter “saltos” na função, ou seja, os limites dos pedaços que compõem a função devem se encaixar certinho nos pontos onde eles se encontram, que são em e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da função para :
Podemos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Isso nos mostra que, para chegando de esquerda a 2, tende a .

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função nesse ponto:
E o valor da função em é dado por:
Então, para continuidade:
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, vamos para o ponto . Precisamos garantir que o limite pela direita seja igual ao valor da função em .
Primeiro, o valor da função para em :
Pela função para :
O limite quando se aproxima de 3 pela direita:
Para continuidade:
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações:
çãçã
Podemos resolver esse sistema de forma simples. Vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar:
çã
Agora subtraímos a Equação 3 da Equação 2:
Com , substituímos na Equação 1:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua são e .

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