Dê uma parametrização para cada uma das curvas.
o ramo da hipérbole
onde
e
são constantes.
o ramo da hipérbole
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício que pede para dar uma parametrização para cada uma das curvas de uma hipérbole. A equação da hipérbole é
onde
e
são constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização de curvas e funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parametrização. É basicamente representar as coordenadas
e
de cada ponto da curva em função de um parâmetro, geralmente
. Isso ajuda a descrever toda a curva de maneira mais simples.
Passo 3
Observando a equação dada:
Parece que na verdade essa é a equação de uma elipse, porque na hipérbole a equação padrão é:
Vamos considerar que houve um erro de digitação e trabalhar com a equação padrão da hipérbole:
Passo 4
Para parametrizar a hipérbole, usamos as funções hiperbólicas:
-
para representar a parte do -
para representar a parte do
Essas funções são análogas às funções trigonométricas, mas para hipérbolas.
Passo 5
Então, a parametrização para a hipérbole fica assim:
onde
é um parâmetro real.
Passo 6
Essa parametrização cobre a ramo direita da hipérbole, onde
. Para a ramo esquerda, onde
, a parametrização fica:
Resposta
A parametrização para cada ramo da hipérbole é:
Ramo direito (
):
Ramo esquerdo (
):
onde
é um número real.