Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.

Passo 1

Nesta questão, vamos trabalhar com equações paramétricas para desenhar uma curva e encontrar sua equação cartesiana. O conteúdo envolvido aqui é de trigonometria e geometria analítica, e precisaremos saber como eliminar o parâmetro para obter a relação direta entre e .

Passo 2

Dadas as equações paramétricas:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para obter uma única equação que relacione e .

Passo 3

Sabemos que existe uma identidade trigonométrica fundamental:
Vamos usar essa identidade para eliminar o parâmetro .

Passo 4

Primeiro, vamos isolar as funções trigonométricas nas equações paramétricas:

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:

Resposta

A equação cartesiana da curva é:

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Calcule e para a partir de e usando .
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
d)