Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta é para mostrar que a série de potências diverge quando . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da raiz ou da razão. Precisamos entender como a série se comporta quando substituímos por -2.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir por -2 na série:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para ver qual se adequa melhor.
Primeiro, percebemos que os termos da série alternam sinais devido ao . Então, o Teste da Série Alternada pode ser útil, mas vamos também considerar o Teste da Razão para ter certeza.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência observando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando k tende ao infinito:
L = limk to infty 2^k+1 + 22^k+1 + 1
Dividindo numerador e denominador por 2^k+1:
L = limk to infty 1 + 22^k+11 + 12^k+1 = 1 + 01 + 0 = 1
Passo 7
No Teste da Razão, se L = 1, o teste é inconclusivo. Portanto, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o Teste da Série Geométrica ou analisar o comportamento dos termos da série.
Simplificando ainda mais, quando k tende ao infinito, 12^k tende a 0, então:
ak approx (-1)^k cdot 1 = (-1)^k
Isso significa que os termos da série se comportam como uma série alternada de termos constantes (-1)^k, que não tendem a zero.
Passo 9
Para uma série alternada convergir, os termos ak devem tender a zero quando k tende ao infinito. No nosso caso, os termos tendem a (-1)^k, que não converge a zero.
Resposta
Portanto, a série sumk=0^infty 11+2^k (-2)^kdiverge quando x = -2.