Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando x=-2. sumk=0^infty 11+2^k x^k

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta é para mostrar que a série de potências sumk=0^infty 11+2^k x^k diverge quando x = -2. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da raiz ou da razão. Precisamos entender como a série se comporta quando substituímos x por -2.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x por -2 na série:
sumk=0^infty 11+2^k (-2)^k
Isso simplifica para:
sumk=0^infty (-2)^k1+2^k

Passo 3

Agora, para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para ver qual se adequa melhor.
Primeiro, percebemos que os termos da série alternam sinais devido ao (-2)^k. Então, o Teste da Série Alternada pode ser útil, mas vamos também considerar o Teste da Razão para ter certeza.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência observando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L > 1, a s��rie diverge.

Passo 5

Calculando a razão entre os termos:
| ak+1ak | = | (-2)^k+11+2^k+1(-2)^k1+2^k | = | (-2)^k+1 (1 + 2^k)(-2)^k (1 + 2^k+1) | = | -2 (1 + 2^k)1 + 2^k+1 |
Simplificando:
= 2 (1 + 2^k)1 + 2 cdot 2^k = 2 + 2^k+11 + 2^k+1 = 2^k+1 + 22^k+1 + 1

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando k tende ao infinito:
L = limk to infty 2^k+1 + 22^k+1 + 1
Dividindo numerador e denominador por 2^k+1:
L = limk to infty 1 + 22^k+11 + 12^k+1 = 1 + 01 + 0 = 1

Passo 7

No Teste da Razão, se L = 1, o teste é inconclusivo. Portanto, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o Teste da Série Geométrica ou analisar o comportamento dos termos da série.
Observando os termos:
ak = (-2)^k1 + 2^k
Podemos simplificar:
ak = (-2)^k2^k (1 + 12^k) = (-2)^k2^k cdot 11 + 12^k = (-1)^k cdot 11 + 12^k

Passo 8

Simplificando ainda mais, quando k tende ao infinito, 12^k tende a 0, então:
ak approx (-1)^k cdot 1 = (-1)^k
Isso significa que os termos da série se comportam como uma série alternada de termos constantes (-1)^k, que não tendem a zero.

Passo 9

Para uma série alternada convergir, os termos ak devem tender a zero quando k tende ao infinito. No nosso caso, os termos tendem a (-1)^k, que não converge a zero.

Resposta

Portanto, a série sumk=0^infty 11+2^k (-2)^k diverge quando x = -2.

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