Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta é para mostrar que a série de potências diverge quando . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da raiz ou da razão. Precisamos entender como a série se comporta quando substituímos por -2.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por -2 na série:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para ver qual se adequa melhor.
Primeiro, percebemos que os termos da série alternam sinais devido ao . Então, o Teste da Série Alternada pode ser útil, mas vamos também considerar o Teste da Razão para ter certeza.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência observando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
Se , a s��rie diverge.

Passo 5

Calculando a razão entre os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 7

No Teste da Razão, se , o teste é inconclusivo. Portanto, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o Teste da Série Geométrica ou analisar o comportamento dos termos da série.
Observando os termos:
Podemos simplificar:

Passo 8

Simplificando ainda mais, quando tende ao infinito, tende a 0, então:
Isso significa que os termos da série se comportam como uma série alternada de termos constantes , que não tendem a zero.

Passo 9

Para uma série alternada convergir, os termos devem tender a zero quando tende ao infinito. No nosso caso, os termos tendem a , que não converge a zero.

Resposta

Portanto, a série diverge quando .

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