Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta é para mostrar que a série de potências diverge quando . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da raiz ou da razão. Precisamos entender como a série se comporta quando substituímos por -2.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir por -2 na série:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para ver qual se adequa melhor.
Primeiro, percebemos que os termos da série alternam sinais devido ao . Então, o Teste da Série Alternada pode ser útil, mas vamos também considerar o Teste da Razão para ter certeza.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência observando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
Se , a s��rie diverge.
Passo 5
Calculando a razão entre os termos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por :
Passo 7
No Teste da Razão, se , o teste é inconclusivo. Portanto, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o Teste da Série Geométrica ou analisar o comportamento dos termos da série.
Observando os termos:
Podemos simplificar:
Passo 8
Simplificando ainda mais, quando tende ao infinito, tende a 0, então:
Isso significa que os termos da série se comportam como uma série alternada de termos constantes , que não tendem a zero.
Passo 9
Para uma série alternada convergir, os termos devem tender a zero quando tende ao infinito. No nosso caso, os termos tendem a , que não converge a zero.