Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para representarmos a função
como uma série de potências e, além disso, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries de potências e conhecimento sobre a função arco-tangente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a expansão em série de potências da função
. A série de Taylor para
ao redor de
é:
Essa série é válida para os valores de
tais que
.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Para isso, basta substituir
por
na série que acabamos de lembrar:
Simplificando a expressão do expoente:
Então, essa é a representação da função como uma série de potências.
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
converge para
. Como fizemos a substituição
por
, a condição de convergência passa a ser:
Portanto, o raio de convergência é 1.
Passo 5
Com o raio de convergência sendo 1, o intervalo de convergência é
, ou seja,
. Vamos verificar os extremos desse intervalo:
- Para
:
A série se torna:
Essa é uma série alternada que converge.
- Para
:
A série se torna:
Novamente, uma série alternada que também converge.
Então, o intervalo de convergência é
.
Resposta
A função
pode ser representada pela série de potências
com raio de convergência igual a 1 e intervalo de convergência no intervalo
.