Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
d) g(x) = arctan(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para representarmos a função como uma série de potências e, além disso, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries de potências e conhecimento sobre a função arco-tangente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a expansão em série de potências da função . A série de Taylor para ao redor de é:
Essa série é válida para os valores de tais que .

Passo 3

Agora, queremos a série para . Para isso, basta substituir por na série que acabamos de lembrar:
Simplificando a expressão do expoente:
Então, essa é a representação da função como uma série de potências.

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de converge para . Como fizemos a substituição por , a condição de convergência passa a ser:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Passo 5

Com o raio de convergência sendo 1, o intervalo de convergência é , ou seja, . Vamos verificar os extremos desse intervalo:
  • Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada que converge.
  • Para :
A série se torna:
Novamente, uma série alternada que também converge.
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

A função pode ser representada pela série de potências
com raio de convergência igual a 1 e intervalo de convergência no intervalo .

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