Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades: x^2 + x - 2 = 5(x - 1) + 6(x - 1)^2 + 4(x - 1)^3 + (x - 1)^4 para todo x em R.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos utilizar séries de Taylor para mostrar que a expressão pode ser reescrita como uma combinação de termos envolvendo . Isso envolve calcular os coeficientes da série de Taylor centrada em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor para uma função em torno de um ponto :
Neste caso, nossa função é e vamos expandi-la em torno de .

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada :
E avaliamos em :

Passo 5

Calculamos a segunda derivada :
E avaliamos em :

Passo 6

Como a função é um polinômio de grau 2, as derivadas de ordem superior ( , , etc.) serão zero. Portanto, os termos de ordem superior na série de Taylor serão nulos. A série de Taylor termina no termo de segundo grau.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da série de Taylor:

Passo 8

Agora, vamos desenvolver a expressão:
Isso confirma que:

Resposta

A igualdade mostrada utilizando séries de Taylor é:

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