Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos utilizar séries de Taylor para mostrar que a expressão
pode ser reescrita como uma combinação de termos envolvendo
. Isso envolve calcular os coeficientes da série de Taylor centrada em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor para uma função
em torno de um ponto
:
Neste caso, nossa função é
e vamos expandi-la em torno de
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos a primeira derivada
:
E avaliamos em
:
Passo 5
Calculamos a segunda derivada
:
E avaliamos em
:
Passo 6
Como a função é um polinômio de grau 2, as derivadas de ordem superior (
,
, etc.) serão zero. Portanto, os termos de ordem superior na série de Taylor serão nulos. A série de Taylor termina no termo de segundo grau.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da série de Taylor:
Passo 8
Agora, vamos desenvolver a expressão:
Isso confirma que:
Resposta
A igualdade mostrada utilizando séries de Taylor é:
Exercícios relacionados
Determine a série de Fourier da função
-periódica
tal que
para
. Use-a para calcular o valor da série
.
Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando
.
.
Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando
.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.