(a) Use o método da separação de variáveis para obter a solução geral da EDP:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o método da separação de variáveis para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Parcial (EDP) dada por:
Aqui, estamos lidando com uma EDP que envolve derivadas parciais em relação ao tempo
e às variáveis espaciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis para simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de uma variável cada. Ou seja:
Essa suposição é a base do método da separação de variáveis. Aqui,
depende só do tempo,
depende só da variável
, e
depende só da variável
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função
:
Primeiro, a derivada de
em relação ao tempo
:
Em seguida, a derivada mista de
em relação a
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original
, temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para separar as variáveis:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação depende apenas de
, enquanto o lado direito depende de
e
. Para que essa igualdade seja verdadeira para todas as variáveis, cada lado deve ser igual a uma constante, digamos
.
Então, temos duas equações:
- Para o lado esquerdo:
- Para o lado direito:
Passo 6
Vamos resolver cada equação separadamente.
Primeiro, para
:
Isso é uma equação diferencial ordinária simples, cuja solução geral é:
onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Agora, para as funções
e
:
Podemos separar isso em duas equações, já que cada termo depende de uma variável diferente:
onde
é outra constante.
Passo 8
Resolvendo para
:
onde
é uma constante de integração.
E para
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Agora, juntando todas as soluções, temos:
Podemos simplificar as constantes multiplicativas:
onde
é uma constante geral.
Resposta
A solução geral da EDP
pelo método da separação de variáveis é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
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