(a) Use o método da separação de variáveis para obter a solução geral da EDP: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o método da separação de variáveis para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Parcial (EDP) dada por:
Aqui, estamos lidando com uma EDP que envolve derivadas parciais em relação ao tempo e às variáveis espaciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis para simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de uma variável cada. Ou seja:
Essa suposição é a base do método da separação de variáveis. Aqui, depende só do tempo, depende só da variável , e depende só da variável .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função :
Primeiro, a derivada de em relação ao tempo :
Em seguida, a derivada mista de em relação a e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação original , temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para separar as variáveis:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação depende apenas de , enquanto o lado direito depende de e . Para que essa igualdade seja verdadeira para todas as variáveis, cada lado deve ser igual a uma constante, digamos .
Então, temos duas equações:
  1. Para o lado esquerdo:
  1. Para o lado direito:

Passo 6

Vamos resolver cada equação separadamente.
Primeiro, para :
Isso é uma equação diferencial ordinária simples, cuja solução geral é:
onde é uma constante de integração.

Passo 7

Agora, para as funções e :
Podemos separar isso em duas equações, já que cada termo depende de uma variável diferente:
onde é outra constante.

Passo 8

Resolvendo para :
onde é uma constante de integração.
E para :
onde é outra constante de integração.

Passo 9

Agora, juntando todas as soluções, temos:
Podemos simplificar as constantes multiplicativas:
onde é uma constante geral.

Resposta

A solução geral da EDP pelo método da separação de variáveis é:
onde , e são constantes arbitrárias.

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