Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem um par de equações paramétricas:
e
, onde
é um número real (
). Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa curva e encontrar a sua equação em termos de
e
(chamada de equação cartesiana). Para isso, vamos usar conceitos de equações paramétricas e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas
e
em função de um parâmetro
. Isso é útil para descrever curvas de uma forma mais flexível. Aqui,
varia em todos os números reais, o que significa que a curva vai se estender indefinidamente.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação cartesiana, queremos eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente. Vamos começar isolando
em uma das equações. Olhando para
, podemos resolver para
:
Passo 4
Com o valor de
em termos de
, vamos substituir esse resultado na equação de
:
Substituindo
por
:
Passo 5
Pronto! Agora temos a relação direta entre
e
:
Essa é a equação cartesiana da nossa curva.
Passo 6
Para esboçar a curva, podemos observar que a equação
é uma reta. Ela tem inclinação negativa, cruzando o eixo
em
e o eixo
em
. Então, basta desenhar uma linha reta passando por esses pontos.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
e a curva é uma reta com inclinação negativa que passa pelos pontos
e
.