Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana: x = -1 + t, y = 2 - t, t pertence a R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem um par de equações paramétricas: e , onde é um número real ( ). Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa curva e encontrar a sua equação em termos de e (chamada de equação cartesiana). Para isso, vamos usar conceitos de equações paramétricas e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas e em função de um parâmetro . Isso é útil para descrever curvas de uma forma mais flexível. Aqui, varia em todos os números reais, o que significa que a curva vai se estender indefinidamente.

Passo 3

Agora, para encontrar a equação cartesiana, queremos eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente. Vamos começar isolando em uma das equações. Olhando para , podemos resolver para :

Passo 4

Com o valor de em termos de , vamos substituir esse resultado na equação de :
Substituindo por :

Passo 5

Pronto! Agora temos a relação direta entre e :
Essa é a equação cartesiana da nossa curva.

Passo 6

Para esboçar a curva, podemos observar que a equação é uma reta. Ela tem inclinação negativa, cruzando o eixo em e o eixo em . Então, basta desenhar uma linha reta passando por esses pontos.

Resposta

A equação cartesiana da curva é e a curva é uma reta com inclinação negativa que passa pelos pontos e .

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