Um fazendeiro tem
de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca no lado do rio. Quais as dimensões do campo tem a maior área?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um fazendeiro que possui 1200 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está localizado na margem de um rio. Como o campo está junto ao rio, ele não precisa de cerca nesse lado. O objetivo é descobrir quais são as dimensões do campo que maximizam a área. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria e otimização matemática.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões do campo. Vamos chamar:
-
de comprimento do campo (paralelo ao rio). -
de largura do campo (perpendicular ao rio).
Como o fazendeiro não precisa cercar o lado do rio, ele só precisa de cerca para os dois lados da largura e um lado do comprimento. Portanto, o total de cerca usada será:
Passo 3
Agora, vamos expressar uma das variáveis em função da outra para facilitar os cálculos. Vamos isolar
:
Isso nos permite escrever todas as equações em termos de uma única variável, o que é útil para encontrar o máximo da área.
Passo 4
A área
do retângulo é dada pela multiplicação do comprimento pela largura:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Agora, temos uma função quadrática que representa a área em termos de
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, podemos utilizar o conceito de vértice de uma parábola. A função que temos é:
Como o coeficiente de
é negativo (
), sabemos que a parábola tem um vértice máximo. A coordenada
do vértice pode ser encontrada pela fórmula:
onde
e
.
Substituindo:
Passo 6
Agora que temos
metros, vamos encontrar
usando a equação que obtivemos anteriormente:
Resposta
As dimensões do campo que proporcionam a maior área são:
- Comprimento (
): 600 metros - Largura (
): 300 metros