Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca no lado do rio. Quais as dimensões do campo tem a maior área?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um fazendeiro que possui 1200 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está localizado na margem de um rio. Como o campo está junto ao rio, ele não precisa de cerca nesse lado. O objetivo é descobrir quais são as dimensões do campo que maximizam a área. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria e otimização matemática.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões do campo. Vamos chamar:
  • de comprimento do campo (paralelo ao rio).
  • de largura do campo (perpendicular ao rio).
Como o fazendeiro não precisa cercar o lado do rio, ele só precisa de cerca para os dois lados da largura e um lado do comprimento. Portanto, o total de cerca usada será:

Passo 3

Agora, vamos expressar uma das variáveis em função da outra para facilitar os cálculos. Vamos isolar :
Isso nos permite escrever todas as equações em termos de uma única variável, o que é útil para encontrar o máximo da área.

Passo 4

A área do retângulo é dada pela multiplicação do comprimento pela largura:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Agora, temos uma função quadrática que representa a área em termos de .

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza a área, podemos utilizar o conceito de vértice de uma parábola. A função que temos é:
Como o coeficiente de é negativo ( ), sabemos que a parábola tem um vértice máximo. A coordenada do vértice pode ser encontrada pela fórmula:
onde e .
Substituindo:

Passo 6

Agora que temos metros, vamos encontrar usando a equação que obtivemos anteriormente:

Resposta

As dimensões do campo que proporcionam a maior área são:
  • Comprimento ( ): 600 metros
  • Largura ( ): 300 metros

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