Um homem lança seu bote num ponto A na margem de um rio reto, com uma largura de
deseja atingir quão rápido possível, um ponto
na outra margem a
rio abaixo (veja Figura). Ele pode dirigir o seu bote para o ponto
e então seguir andando para o ponto
, ou remar diretamente para um ponto
entre
e
e então andar até B. Se ele pode remar a
e andar a
, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível?
Passo 1
Resumo do Problema e Conceitos Envolvidos
Temos um homem que está tentando atravessar um rio com largura de
para chegar ao ponto
, que está localizado
rio abaixo da margem oposta. Ele pode remar diretamente para um ponto
entre o ponto
(diretamente oposto a
) e
, e depois caminhar até
. As velocidades de remo e caminhada são, respectivamente,
e
. Nosso objetivo é descobrir onde ele deve aportar (land) para chegar a
o mais rápido possível.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de otimização, onde buscamos minimizar o tempo total de viagem combinando o tempo de remo e o tempo de caminhada.
Passo 2
Modelagem do Problema
Vamos definir:
-
: distância, em km, que o homem deve remar rio abaixo a partir do ponto para atingir o ponto . - A largura do rio é
. - A distância rio abaixo de
até é .
O ponto
estará localizado a
rio abaixo de
, ou seja, a uma distância total de
km de
na direção de
.
Passo 3
Cálculo da Distância de Remo e Tempo de Remada
Ao remar do ponto
até o ponto
, o homem está percorrendo uma trajetória diagonal que forma um triângulo retângulo, onde:
- Um cateto é a largura do rio (
). - O outro cateto é a distância
rio abaixo.
A distância total de remo (
) pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras:
O tempo de remo (
) é a distância dividida pela velocidade de remo:
Passo 4
Cálculo da Distância Caminhada e Tempo de Caminhada
Após aporar no ponto
, o homem precisa caminhar até o ponto
. A distância de caminhada (
) é a diferença entre a distância total rio abaixo (
) e a distância que ele remou (
):
O tempo de caminhada (
) é a distância dividida pela velocidade de caminhada:
Passo 5
Função Tempo Total e Otimização
O tempo total (
) para chegar em
é a soma do tempo de remo e do tempo de caminhada:
Para encontrar o valor de
que minimiza o tempo total, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Primeiro, derivamos
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Passo 6
Resolução da Equação para
Resolvendo para
:
Resposta
Ele deve aportar aproximadamente a
rio abaixo do ponto
para chegar ao ponto
no menor tempo possível.