Um homem lança seu bote num ponto A na margem de um rio reto, com uma largura de 3 km e deseja atingir quão rápido possível, um ponto B na outra margem a 8 km rio abaixo (veja Figura). Ele pode dirigir o seu bote para o ponto C e então seguir andando para o ponto B, ou remar diretamente para um ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível?

Passo 1

Resumo do Problema e Conceitos Envolvidos
Temos um homem que está tentando atravessar um rio com largura de para chegar ao ponto , que está localizado rio abaixo da margem oposta. Ele pode remar diretamente para um ponto entre o ponto (diretamente oposto a ) e , e depois caminhar até . As velocidades de remo e caminhada são, respectivamente, e . Nosso objetivo é descobrir onde ele deve aportar (land) para chegar a o mais rápido possível.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de otimização, onde buscamos minimizar o tempo total de viagem combinando o tempo de remo e o tempo de caminhada.

Passo 2

Modelagem do Problema
Vamos definir:
  • : distância, em km, que o homem deve remar rio abaixo a partir do ponto para atingir o ponto .
  • A largura do rio é .
  • A distância rio abaixo de até é .
O ponto estará localizado a rio abaixo de , ou seja, a uma distância total de km de na direção de .

Passo 3

Cálculo da Distância de Remo e Tempo de Remada
Ao remar do ponto até o ponto , o homem está percorrendo uma trajetória diagonal que forma um triângulo retângulo, onde:
  • Um cateto é a largura do rio ( ).
  • O outro cateto é a distância rio abaixo.
A distância total de remo ( ) pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras:
O tempo de remo ( ) é a distância dividida pela velocidade de remo:

Passo 4

Cálculo da Distância Caminhada e Tempo de Caminhada
Após aporar no ponto , o homem precisa caminhar até o ponto . A distância de caminhada ( ) é a diferença entre a distância total rio abaixo ( ) e a distância que ele remou ( ):
O tempo de caminhada ( ) é a distância dividida pela velocidade de caminhada:

Passo 5

Função Tempo Total e Otimização
O tempo total ( ) para chegar em é a soma do tempo de remo e do tempo de caminhada:
Para encontrar o valor de que minimiza o tempo total, precisamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.
Primeiro, derivamos :
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:

Passo 6

Resolução da Equação para
Resolvendo para :

Resposta

Ele deve aportar aproximadamente a rio abaixo do ponto para chegar ao ponto no menor tempo possível.

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