Em cada uma dos seguintes problemas de valor inicial, verifique que o ponto x0 onde são fornecidos os dados inicias é um ponto ordinário da EDO. Além disso, se
y=phi(x)=sumn=0^infty an(x-x0)^n
é a solução do problema de valor inicial, determine a0, a1, a2, a3 e a4.
a. cy^prime prime+x y^prime-y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) com condição inicial e precisa verificar se o ponto inicial x0 = 0 é um ponto ordinário. Além disso, vamos encontrar os primeiros cinco coeficientes ( a0 a a4) na solução em série de potências. Para isso, vamos usar conhecimento sobre séries de potências e métodos de solução de EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se x0 = 0 é um ponto ordinário da EDO. Uma EDO da forma:
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0
tem x0 como um ponto ordinário se as funções P(x) e Q(x) forem analíticas (ou seja, possuírem séries de potências convergentes) em torno de x0.
No nosso caso, a EDO é:
y'' + x y' - y = 0
Aqui, P(x) = x e Q(x) = -1. Ambas são funções polinomiais, portanto, analíticas em todo lugar, inclusive em x0 = 0. Então, x0 = 0 é um ponto ordinário.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a solução da EDO pode ser expressa como uma série de potências centrada em x0 = 0:
y = phi(x) = sumn=0^infty an x^n
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a0, a1, a2, a3 e a4.

Passo 4

Para encontrar esses coeficientes, precisamos substituir a série na EDO e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de x. Primeiro, vamos encontrar as derivadas necessárias.
Primeira derivada:
y' = phi'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
Segunda derivada:
y'' = phi''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 5

Substituindo y, y' e y'' na EDO:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + x sumn=1^infty n an x^n-1 - sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos ajustar os índices para alinhar as potências de x:
Para o primeiro termo, substituímos n-2 por k:
sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k
Para o segundo termo:
sumn=1^infty n an x^n = sumk=1^infty k ak x^k
E o terceiro termo já está com x^k:
- sumk=0^infty ak x^k
Agora, juntando tudo:
sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k + sumk=1^infty k ak x^k - sumk=0^infty ak x^k = 0

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x^k devem ser iguais a zero:
(k+2)(k+1) ak+2 + k ak - ak = 0
Simplificando:
(k+2)(k+1) ak+2 = (1 - k) ak
Então, a recorrência é:
ak+2 = (1 - k)(k+2)(k+1) ak

Passo 7

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar a0 e a1.
Dado que y(0) = 1, temos:
y(0) = a0 = 1
E y'(0) = 1, então:
y'(0) = a1 = 1

Passo 8

Agora, vamos calcular os próximos coeficientes usando a relação de recorrência.
Para k=0:
a2 = (1 - 0)(2)(1) a0 = 12 cdot 1 = 12
Para k=1:
a3 = (1 - 1)(3)(2) a1 = 0
Para k=2:
a4 = (1 - 2)(4)(3) a2 = -112 cdot 12 = -124

Resposta

Os coeficientes são:
a0 = 1, a1 = 1, a2 = 12, a3 = 0, a4 = -124

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