Em cada uma dos seguintes problemas de valor inicial, verifique que o ponto
onde são fornecidos os dados inicias é um ponto ordinário da EDO. Além disso, se
é a solução do problema de valor inicial, determine
e
.
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) com condição inicial e precisa verificar se o ponto inicial
é um ponto ordinário. Além disso, vamos encontrar os primeiros cinco coeficientes (
a
) na solução em série de potências. Para isso, vamos usar conhecimento sobre séries de potências e métodos de solução de EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se
é um ponto ordinário da EDO. Uma EDO da forma:
tem
como um ponto ordinário se as funções
e
forem analíticas (ou seja, possuírem séries de potências convergentes) em torno de
.
No nosso caso, a EDO é:
Aqui,
e
. Ambas são funções polinomiais, portanto, analíticas em todo lugar, inclusive em
. Então,
é um ponto ordinário.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a solução da EDO pode ser expressa como uma série de potências centrada em
:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
e
.
Passo 4
Para encontrar esses coeficientes, precisamos substituir a série na EDO e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de
. Primeiro, vamos encontrar as derivadas necessárias.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na EDO:
Vamos ajustar os índices para alinhar as potências de
:
Para o primeiro termo, substituímos
por
:
Para o segundo termo:
E o terceiro termo já está com
:
Agora, juntando tudo:
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Simplificando:
Então, a recorrência é:
Passo 7
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Dado que
, temos:
E
, então:
Passo 8
Agora, vamos calcular os próximos coeficientes usando a relação de recorrência.
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os coeficientes são: