Determine o comprimento da curva dada
Resposta:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial no intervalo de
de
a
. O objetivo é encontrar o comprimento dessa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de curva em cálculo vetorial, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada
nos dá a taxa de variação da posição ao longo da curva, ou seja, a tangente à curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma (ou módulo) da derivada
, que representa a velocidade vetorial. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Aplicando isso à
:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Sabemos que . Então,
Portanto,
Passo 5
Para encontrar o comprimento da curva, integramos a norma da derivada de
a
:
Como
é uma constante, a integral fica:
Resposta
O comprimento da curva é
.