Determine o comprimento da curva dada
r(t) = t i + 3 cos(t) j + 3 sen(t) k ; -5 <= t <= 5 Resposta: 10 * raiz(10)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial no intervalo de de a . O objetivo é encontrar o comprimento dessa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de curva em cálculo vetorial, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da posição ao longo da curva, ou seja, a tangente à curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou módulo) da derivada , que representa a velocidade vetorial. A fórmula para a norma de um vetor é:
Aplicando isso à :

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Sabemos que . Então,
Portanto,

Passo 5

Para encontrar o comprimento da curva, integramos a norma da derivada de a :
Como é uma constante, a integral fica:

Resposta

O comprimento da curva é .

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