Para cada uma das seguintes retas determine um vetor de direção e três pontos distintos sobre a reta. Também faça uma representação gráfica da reta
© r: x-2-2=2 y+46=z+2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar um vetor de direção e três pontos distintos sobre a reta . Para isso, vamos utilizar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar o vetor de direção da reta e encontrar três pontos que pertencem a ela para, posteriormente, representá-la graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada da reta. Ela está na forma simétrica:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
onde x - 2-2 = 2y + 46 = z + 2 é um ponto da reta e 2y + 46 = 2(y + 2)6 = y + 23 é o vetor de direção.
No nosso caso, a equação é:
x - 2-2 = y + 23 = z + 2
Vamos reescrever a segunda fração para deixá-la na forma padrão. Observamos que:
Portanto, a equação fica:

Passo 3

Agora, identificamos os componentes:
  • , , → ponto da reta:
  • , , → vetor de dire��ão:

Passo 4

Com o vetor de direção x - 2-2 = y + 23 = z + 2 = t , podemos encontrar três pontos distintos na reta escolhendo diferentes valores para o parâmetro x = -2t + 2 .
Vamos parametrizar a reta:
y = 3t - 2
Então:
z = t - 2

Passo 5

Escolheremos três valores para x = -2(0) + 2 = 2 para encontrar três pontos distintos:
  1. Para y = 3(0) - 2 = -2 :
    z = 0 - 2 = -2
    x = -2(1) + 2 = 0
    y = 3(1) - 2 = 1
    Ponto: z = 1 - 2 = -1
  2. Para x = -2(2) + 2 = -2 :
    y = 3(2) - 2 = 4
    z = 2 - 2 = 0
    Ponto:
  3. Para :
    Ponto:

Passo 6

Com esses três pontos , e e o vetor de direção , podemos representar graficamente a reta no espaço tridimensional. Para isso, posicionamos os pontos no espaço e traçamos uma linha que passa por eles na direção indicada pelo vetor.

Resposta

O vetor de direção da reta é . Três pontos distintos sobre a reta são:

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