Determine três pontos distintos sobre o plano pi, dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a pi, para
© pi: 3 x-y+3=0.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente encontrar três pontos distintos que estejam no plano pi, dois vetores diretores que não sejam colineares (ou seja, que não estejam na mesma direção) e um vetor normal ao plano pi. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como identificar pontos em um plano e como determinar vetores que estão dentro ou são perpendiculares a esse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar três pontos distintos que estão no plano pi: 3x - y + 3 = 0. Para isso, podemos escolher valores arbitrários para duas das variáveis e resolver para a terceira.

Passo 3

Vamos escolher x e z como variáveis livres. Notando que a equação do plano não envolve z, ele pode ser qualquer valor. Assim:
  1. Primeiro ponto: Vamos definir x = 0 e z = 0.
    3(0) - y + 3 = 0 Rightarrow -y + 3 = 0 Rightarrow y = 3
    Então, o primeiro ponto é (0, 3, 0).
  2. Segundo ponto: Vamos definir x = 1 e z = 0.
    3(1) - y + 3 = 0 Rightarrow 3 - y + 3 = 0 Rightarrow 6 - y = 0 Rightarrow y = 6
    Então, o segundo ponto é (1, 6, 0).
  3. Terceiro ponto: Vamos definir x = -1 e z = 1.
    3(-1) - y + 3 = 0 Rightarrow -3 - y + 3 = 0 Rightarrow -y = 0 Rightarrow y = 0
    Então, o terceiro ponto é (-1, 0, 1).

Passo 4

Agora, vamos encontrar dois vetores diretores para o plano pi. Vetores diretores são vetores que estão dentro do plano, ou seja, eles são tangentes ao plano.
Para isso, vamos considerar dois dos pontos que encontramos e calcular os vetores que ligam um ao outro.
  1. Primeiro vetor diretor: Entre os pontos (0, 3, 0) e (1, 6, 0).
    v1 = (1 - 0, 6 - 3, 0 - 0) = (1, 3, 0)
  2. Segundo vetor diretor: Entre os pontos (0, 3, 0) e (-1, 0, 1).
    v2 = (-1 - 0, 0 - 3, 1 - 0) = (-1, -3, 1)
Esses vetores não são múltiplos um do outro, então eles não são colineares, atendendo ao requisito.

Passo 5

Por fim, vamos determinar um vetor normal ao plano pi. Um vetor normal é perpendicular a todos os vetores diretores do plano e pode ser encontrado diretamente a partir dos coeficientes da equação geral do plano.
A equação do plano pi está na forma Ax + By + Cz + D = 0, onde o vetor normal é (A, B, C). No nosso caso, a equação é 3x - y + 3 = 0, que pode ser reescrita como 3x - y + 0z + 3 = 0. Portanto, os coeficientes são A = 3, B = -1 e C = 0.
Então, o vetor normal é:
n = (3, -1, 0)

Resposta

Três pontos distintos no plano pi são (0, 3, 0), (1, 6, 0) e (-1, 0, 1). Dois vetores diretores do plano são v1 = (1, 3, 0) e v2 = (-1, -3, 1). Um vetor normal ao plano pi é n = (3, -1, 0).

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