Determine três pontos distintos sobre o plano
, dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a
, para
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.
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Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente encontrar três pontos distintos que estejam no plano
, dois vetores diretores que não sejam colineares (ou seja, que não estejam na mesma direção) e um vetor normal ao plano
. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como identificar pontos em um plano e como determinar vetores que estão dentro ou são perpendiculares a esse plano.
Passo 2
Primeiro, vamos achar três pontos distintos que estão no plano
. Para isso, podemos escolher valores arbitrários para duas das variáveis e resolver para a terceira.
Passo 3
Vamos escolher
e
como variáveis livres. Notando que a equação do plano não envolve
, ele pode ser qualquer valor. Assim:
-
Primeiro ponto: Vamos definir
e . Então, o primeiro ponto é. -
Segundo ponto: Vamos definir
e . Então, o segundo ponto é. -
Terceiro ponto: Vamos definir
e . Então, o terceiro ponto é.
Passo 4
Agora, vamos encontrar dois vetores diretores para o plano
. Vetores diretores são vetores que estão dentro do plano, ou seja, eles são tangentes ao plano.
Para isso, vamos considerar dois dos pontos que encontramos e calcular os vetores que ligam um ao outro.
-
Primeiro vetor diretor: Entre os pontos
e . -
Segundo vetor diretor: Entre os pontos
e .
Esses vetores não são múltiplos um do outro, então eles não são colineares, atendendo ao requisito.
Passo 5
Por fim, vamos determinar um vetor normal ao plano
. Um vetor normal é perpendicular a todos os vetores diretores do plano e pode ser encontrado diretamente a partir dos coeficientes da equação geral do plano.
A equação do plano
está na forma
, onde o vetor normal é
. No nosso caso, a equação é
, que pode ser reescrita como
. Portanto, os coeficientes são
,
e
.
Então, o vetor normal é:
Resposta
Três pontos distintos no plano
são
,
e
. Dois vetores diretores do plano são
e
. Um vetor normal ao plano
é
.