Determinar equações paramétricas e uma equação geral do plano que
(e) Passa pelos pontos P=(-2,4,1), Q=(3,-7,0) e é perpendicular ao plano pi:-x+5 y+7 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e a equação geral de um plano que passa pelos pontos e , e que é perpendicular ao plano . Para fazer isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos. Vamos precisar calcular vetores, usar produto vetorial e montar a equação do plano passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor que vai de PQ = Q - P = (3 - (-2), -7 - 4, 0 - 1) = (5, -11, -1) até . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :
Esse vetor está no plano que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do plano n = (-1, 5, 7) . A equação do plano é , então o vetor normal é:
Esse vetor é perpendicular ao plano .

Passo 4

Como o plano que queremos é perpendicular ao plano N = PQ times n , o vetor normal desse novo plano precisa ser perpendicular ao vetor N = i & j & k 5 & -11 & -1 -1 & 5 & 7 = i cdot (-11 cdot 7 - (-1) cdot 5) - j cdot (5 cdot 7 - (-1) cdot (-1)) + k cdot (5 cdot 5 - (-11) cdot (-1)) e também estar contido no nosso plano, o que significa que ele deve ser perpendicular a = i cdot (-77 + 5) - j cdot (35 - 1) + k cdot (25 - 11) . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos = i cdot (-72) - j cdot 34 + k cdot 14 e N = (-72, -34, 14) , usamos o produto vetorial:
N = (-36, -17, 7)
Vamos calcular:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -36(x + 2) -17(y - 4) + 7(z - 1) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
-36x - 72 -17y + 68 +7z -7 = 0
Substituindo:
-36x -17y +7z -11 = 0
Distribuindo:
36x + 17y -7z +11 = 0
Simplificando:
Ou, multiplicando todos os termos por -1 para ficar mais agrad��vel:
Essa é a equação geral do plano.

Passo 6

Agora, vamos achar as equações paramétricas do plano. Para isso, precisamos de um ponto no plano (vamos usar v = PQ times N ) e de dois vetores que estão no plano. Já temos v = i & j & k 5 & -11 & -1 -36 & -17 & 7 = i cdot (-11 cdot 7 - (-1) cdot (-17)) - j cdot (5 cdot 7 - (-1) cdot (-36)) + k cdot (5 cdot (-17) - (-11) cdot (-36)) e o vetor = i cdot (-77 -17) - j cdot (35 -36) + k cdot (-85 -396) é perpendicular ao plano, então podemos encontrar outro vetor no plano usando o produto vetorial de = i cdot (-94) - j cdot (-1) + k cdot (-481) e v = (-94, 1, -481) :
x = -2 + 5t -94s
Calculando:
y = 4 -11t + s
z = 1 -1t -481s
Agora temos dois vetores no plano: e . Então, as equações paramétricas ficam:
Onde e são parâmetros reais.

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = -2 + 5t -94s y = 4 -11t + s z = 1 - t -481s
E a equação geral do plano é:
36x + 17y -7z +11 = 0

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