Considere os vetores e . Determine valor de para que:
(b) O paralelepípedo determinado por e tenha volume 41 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores: , e . A questão quer que encontremos o valor de para que o paralelepípedo formado por esses vetores tenha um volume de 41. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de produto misto de vetores, que nos dá o volume do paralelepípedo.
Passo 2
O volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar tal que .
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . Usamos a regra do determinante para isso:
Calculando:
v times w = i((-4)(a) - (2)(3)) - j((-1)(a) - (2)(-2)) + k((-1)(3) - (-4)(-2))
= i(-4a - 6) - j(-a + 4) + k(-3 - 8)
= (-4a - 6)i + (a - 4)j - 11k
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w):
u cdot (v times w) = (2)(-4a - 6) + (0)(a - 4) + (-1)(-11)
= -8a - 12 + 11
= -8a - 1
Passo 5
Sabemos que o volume é o valor absoluto desse produto escalar igual a 41:
|-8a - 1| = 41
Isso nos dá duas equações:
-8a - 1 = 41
-8a - 1 = -41
Resolvendo a primeira:
-8a - 1 = 41 -8a = 42 a = -428 a = -5,25
Resolvendo a segunda:
-8a - 1 = -41 -8a = -40 a = 5
Resposta
Os valores de a que satisfazem a condição são a = 5 e a = -5,25.