Considere os pontos P(4, a, 4) e Q(0,3 b+8, b), as retas
r: x-1=2-y3=z e s:(x, y, z)=Q+t(1,0,2), t in R
e os planos
pi1: m x-2 y+(m+3) z-1=0 e pi2:(x, y, z)=t(1,-3,1)+h(2,-3,1), h, t in R
Determine, se possível: m, de modo que os planos pi1 e pi2 sejam concorrentes segundo a reta r.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá dois planos, e , e uma reta . Queremos encontrar o valor de tal que os planos e se encontrem exatamente na reta .
Matéria envolvida: Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos e retas no espaço.
O que precisamos: Equações dos planos e da reta, e entender como determinar se a interseção de dois planos é uma reta específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta r: x - 1 = 2 - y3 = z :
x = 1 + t
Podemos reescrever isso em forma paramétrica. Vamos chamar a parte comum de y = 2 - 3t :
z = t
Teoria aplicada: A equação paramétrica de uma reta no espaço permite expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro .

Passo 3

Agora, vamos examinar as equações dos planos:
pi1: m x - 2 y + (m + 3) z - 1 = 0
pi2: (x, y, z) = t(1, -3, 1) + h(2, -3, 1), h, t in R
Para , podemos identificar uma equação vetorial representando o plano. Vamos converter isso para a forma cartesiana.
Teoria aplicada: A equação vetorial de um plano pode ser convertida para a forma cartesiana usando vetores diretores e pontos.

Passo 4

Para (x, y, z) = t(1, -3, 1) + h(2, -3, 1) , temos:
n = u times v = i & j & k 1 & -3 & 1 2 & -3 & 1 = ( (-3)(1) - (1)(-3), (1)(2) - (1)(1), (1)(-3) - (-3)(2) )
Isso significa que os vetores diretores são n = ( -3 + 3, 2 - 1, -3 + 6 ) = (0, 1, 3) e 0(x - x0) + 1(y - y0) + 3(z - z0) = 0 .
Podemos encontrar a equação cartesiana do plano usando o produto vetorial desses vetores para obter o vetor normal y + 3z = 0 :
Assim, a equação cartesiana de é:
Escolhendo o ponto , , (já que a equação vetorial passa pela origem):
Teoria aplicada: O produto vetorial de dois vetores diretores de um plano nos dá o vetor normal, que usamos para escrever a equação cartesiana do plano.

Passo 5

Agora, queremos que a reta m(1 + t) - 2(2 - 3t) + (m + 3)(t) - 1 = 0 esteja na interseção dos planos m + mt - 4 + 6t + mt + 3t - 1 = 0 e (2m)t + (m - 5 + 9t) = 0 . Isso significa que todos os pontos de 2m + 9 = 0 e m - 5 = 0 devem satisfazer as equações de ambos os planos.
Vamos substituir as coordenadas de m = 5 e 2m + 9 = 0 m = -92 nas equações dos planos.
Para :
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser zero:
Resolvendo essas equações:
Como não há valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente, isso indica que não existe um que faça com que e se encontrem na reta .

Resposta

Não existe valor de que faça com que os planos e sejam concorrentes segundo a reta .

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