Determine, se possível: , de modo que os planos e sejam concorrentes segundo a reta .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá dois planos, e , e uma reta . Queremos encontrar o valor de tal que os planos e se encontrem exatamente na reta .
Matéria envolvida: Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos e retas no espaço.
O que precisamos: Equações dos planos e da reta, e entender como determinar se a interseção de dois planos é uma reta específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta :
Podemos reescrever isso em forma paramétrica. Vamos chamar a parte comum de :
Teoria aplicada: A equação paramétrica de uma reta no espaço permite expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro .
Passo 3
Agora, vamos examinar as equações dos planos:
Para , podemos identificar uma equação vetorial representando o plano. Vamos converter isso para a forma cartesiana.
Teoria aplicada: A equação vetorial de um plano pode ser convertida para a forma cartesiana usando vetores diretores e pontos.
Passo 4
Para , temos:
Isso significa que os vetores diretores são e .
Podemos encontrar a equação cartesiana do plano usando o produto vetorial desses vetores para obter o vetor normal :
Assim, a equação cartesiana de é:
Escolhendo o ponto , , (já que a equação vetorial passa pela origem):
Teoria aplicada: O produto vetorial de dois vetores diretores de um plano nos dá o vetor normal, que usamos para escrever a equação cartesiana do plano.
Passo 5
Agora, queremos que a reta m(1 + t) - 2(2 - 3t) + (m + 3)(t) - 1 = 0 esteja na interseção dos planos m + mt - 4 + 6t + mt + 3t - 1 = 0 e (2m)t + (m - 5 + 9t) = 0 . Isso significa que todos os pontos de 2m + 9 = 0 e m - 5 = 0 devem satisfazer as equações de ambos os planos.
Vamos substituir as coordenadas de m = 5 e 2m + 9 = 0 m = -92 nas equações dos planos.
Para :
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser zero:
Resolvendo essas equações:
Como não há valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente, isso indica que não existe um que faça com que e se encontrem na reta .
Resposta
Não existe valor de que faça com que os planos e sejam concorrentes segundo a reta .