Para cada uma das seguintes séries:
2) sum 1raiz1+n^2
Encontre uma função f:[1,+infty) R positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. f(n) seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série do tipo sum 1raiz1 + n^2 e precisamos encontrar uma função f(n) que seja positiva, decrescente e contínua, tal que f(n) seja igual ao termo geral da série. Depois disso, vamos usar o Teste da Integral para ver se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries e sobre como aplicar o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função f(n) que representa o termo geral da série. Aqui, cada termo da série é 1raiz1 + n^2. Então, podemos definir:
f(n) = 1raiz1 + n^2

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que essa função f(n) é positiva, decrescente e contínua no intervalo [1, +infty). Vamos por partes.

Positiva

A função f(n) = 1raiz1 + n^2 é positiva porque o denominador raiz1 + n^2 é sempre positivo para todo n >= 1. Então, f(n) > 0.

Contínua

A função é contínua porque é composta por funções contínuas: a soma, a raiz quadrada e a divisão (desde que o denominador não seja zero, o que, como vimos, não acontece aqui).

Decrescente

Para mostrar que f(n) é decrescente, vamos verificar se sua derivada é negativa. Vamos considerar f(x) = 1raiz1 + x^2 para facilitar a derivação.
Calculando a derivada:
f'(x) = ddx (1 + x^2)^-12 = -12 (1 + x^2)^-32 cdot 2x = -x(1 + x^2)^32
Como x >= 1, f'(x) < 0. Isso mostra que f(x) está diminuindo conforme x aumenta. Portanto, f(n) é decrescente.

Passo 4

Agora que já confirmamos que f(n) é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge comparando-a com uma integral.
Vamos calcular a integral de f(x) de 1 até o infinito:
integral1^+infty 1raiz1 + x^2 , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou lembrar que a integral de 1raiz1 + x^2 é uma função conhecida. Sabemos que:
integral 1raiz1 + x^2 , dx = sinh^-1(x) = ln(x + raiz1 + x^2) + C
Então, avaliando de 1 até o infinito:
limb to +infty [ ln(b + raiz1 + b^2) - ln(1 + raiz2) ]
À medida que b tende ao infinito, ln(b + raiz1 + b^2) se comporta como ln(2b) = ln b + ln 2, que vai para infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

Como a integral integral1^+infty 1raiz1 + x^2 , dx diverge, pelo Teste da Integral, a série sum 1raiz1 + n^2 também diverge.

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