Para cada uma das seguintes séries:
2)
Encontre uma função
positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q.
seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries.
2)
Encontre uma função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série do tipo
e precisamos encontrar uma função
que seja positiva, decrescente e contínua, tal que
seja igual ao termo geral da série. Depois disso, vamos usar o Teste da Integral para ver se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries e sobre como aplicar o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função
que representa o termo geral da série. Aqui, cada termo da série é
. Então, podemos definir:
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que essa função
é positiva, decrescente e contínua no intervalo
. Vamos por partes.
Positiva
A função
é positiva porque o denominador
é sempre positivo para todo
. Então,
.
Contínua
A função é contínua porque é composta por funções contínuas: a soma, a raiz quadrada e a divisão (desde que o denominador não seja zero, o que, como vimos, não acontece aqui).
Decrescente
Para mostrar que
é decrescente, vamos verificar se sua derivada é negativa. Vamos considerar
para facilitar a derivação.
Calculando a derivada:
Como
,
. Isso mostra que
está diminuindo conforme
aumenta. Portanto,
é decrescente.
Passo 4
Agora que já confirmamos que
é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge comparando-a com uma integral.
Vamos calcular a integral de
de 1 até o infinito:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou lembrar que a integral de
é uma função conhecida. Sabemos que:
Então, avaliando de 1 até o infinito:
À medida que
tende ao infinito,
se comporta como
, que vai para infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
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Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
4) .
4)
Responda de maneira justificada cada uma das seguintes perguntas:
- A série
é absolutamente convergente?