Para cada uma das seguintes séries:
2)
Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série do tipo e precisamos encontrar uma função que seja positiva, decrescente e contínua, tal que seja igual ao termo geral da série. Depois disso, vamos usar o Teste da Integral para ver se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries e sobre como aplicar o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que representa o termo geral da série. Aqui, cada termo da série é . Então, podemos definir:

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que essa função é positiva, decrescente e contínua no intervalo . Vamos por partes.

Positiva

A função é positiva porque o denominador é sempre positivo para todo . Então, .

Contínua

A função é contínua porque é composta por funções contínuas: a soma, a raiz quadrada e a divisão (desde que o denominador não seja zero, o que, como vimos, não acontece aqui).

Decrescente

Para mostrar que é decrescente, vamos verificar se sua derivada é negativa. Vamos considerar para facilitar a derivação.
Calculando a derivada:
Como , . Isso mostra que está diminuindo conforme aumenta. Portanto, é decrescente.

Passo 4

Agora que já confirmamos que é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge comparando-a com uma integral.
Vamos calcular a integral de de 1 até o infinito:

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou lembrar que a integral de é uma função conhecida. Sabemos que:
Então, avaliando de 1 até o infinito:
À medida que tende ao infinito, se comporta como , que vai para infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

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Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma .
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
4) .
Responda de maneira justificada cada uma das seguintes perguntas:
  1. A série é absolutamente convergente?