Responda de maneira justificada cada uma das seguintes perguntas:
  1. A série é absolutamente convergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série é absolutamente convergente. Isso envolve entender o que é uma série absolutamente convergente e usar alguns conceitos de cálculo para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Sabemos que é igual a . Então, substituindo isso na série, temos:

Passo 3

Agora, para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos dos termos:
Sabemos que para todo . Então, podemos comparar nossa série com .

Passo 4

A série é uma série conhecida que converge para (a base dos logaritmos naturais). Como e converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
4) .
Para cada uma das seguintes séries:
2)
Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries.
Determine uma fórmula para semelhante à Fórmula 10 para o caso onde é dada por e é o vetor normal unitário que aponta para a frente (ou seja, para o observador, quando os eixos estão desenhados na posição usual).
Encontre a solução estacionária do problema: