Responda de maneira justificada cada uma das seguintes perguntas:
  1. A série sum 1n!sec n é absolutamente convergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série é absolutamente convergente. Isso envolve entender o que é uma série absolutamente convergente e usar alguns conceitos de cálculo para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Sabemos que 1n! sec n = 1n! cdot 1cos n = cos nn! é igual a . Então, substituindo isso na série, temos:

Passo 3

Agora, para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos dos termos:
sum | cos nn! | = sum |cos n|n!
Sabemos que para todo . Então, podemos comparar nossa série com .

Passo 4

A série é uma série conhecida que converge para (a base dos logaritmos naturais). Como e converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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