Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
4)
.
4)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para utilizar o Teste da Comparação para justificar se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolve séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com uma série conhecida cuja convergência ou divergência já sabemos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da nossa série:
. Sabemos que, à medida que
aumenta,
também aumenta, fazendo com que
diminua.
Passo 3
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos de uma série comparável. Vamos comparar com a série harmônica
, que sabemos que diverge.
Passo 4
Observamos que para todo
, temos
. Portanto,
.
Passo 5
A série
é semelhante à série harmônica, apenas deslocada, e também diverge. Como
é maior que um termo de uma série que diverge, pela comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.