Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
4) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para utilizar o Teste da Comparação para justificar se a série converge ou diverge. O conteúdo envolve séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com uma série conhecida cuja convergência ou divergência já sabemos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da nossa série: . Sabemos que, à medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua.

Passo 3

Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos de uma série comparável. Vamos comparar com a série harmônica , que sabemos que diverge.

Passo 4

Observamos que para todo , temos . Portanto, .

Passo 5

A série é semelhante à série harmônica, apenas deslocada, e também diverge. Como é maior que um termo de uma série que diverge, pela comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes séries:
2)
Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries.
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Responda de maneira justificada cada uma das seguintes perguntas:
  1. A série é absolutamente convergente?
Determine uma fórmula para semelhante à Fórmula 10 para o caso onde é dada por e é o vetor normal unitário que aponta para a frente (ou seja, para o observador, quando os eixos estão desenhados na posição usual).