Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
4) sum 1ln (n+2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para utilizar o Teste da Comparação para justificar se a série sum 1ln (n+2) converge ou diverge. O conteúdo envolve séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com uma série conhecida cuja convergência ou divergência já sabemos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da nossa série: 1ln (n+2). Sabemos que, à medida que n aumenta, ln(n+2) também aumenta, fazendo com que 1ln (n+2) diminua.

Passo 3

Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos de uma série comparável. Vamos comparar com a série harmônica sum 1n, que sabemos que diverge.

Passo 4

Observamos que para todo n >= 1, temos ln(n+2) <= n+2. Portanto, 1ln(n+2) >= 1n+2.

Passo 5

A série sum 1n+2 é semelhante à série harmônica, apenas deslocada, e também diverge. Como 1ln(n+2) é maior que um termo de uma série que diverge, pela comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série sum 1ln (n+2) diverge.

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