Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma sumn=0^+infty[(n+1) sin pin+1-n sin pin].

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui! O exercício pede para determinar o valor da soma infinita:
sumn=0^+infty[(n+1) sin pin+1 - n sin pin]
Matéria envolvida: Séries infinitas e somas telescópicas.
O que precisamos: Entender como funciona uma soma telescópica e calcular o limite da soma parcial para encontrar o valor final da série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral do termo da soma:
an = (n+1) sin pin+1 - n sin pin
Essa estrutura é típica de uma soma telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos vários deles. A ideia é que, ao somar os termos, partes do termo vão se anular com partes do termo anterior ou seguinte.

Passo 3

Vamos calcular a soma parcial até o termo SN = sumn=0^N [(n+1) sin pin+1 - n sin pin] :
SN = (1) sin pi1 - 0 sin pi0 + (2) sin pi2 - 1 sin pi1 + cdots + (N+1) sin piN+1 - N sin piN
Ao expandir essa soma, observamos que muitos termos se cancelam:
SN = (N+1) sin piN+1 - 0 sin pi0 = (N+1) sin piN+1
Veja que é igual a 0 (já que qualquer número multiplicado por zero dá zero), e os demais termos internos cancelam entre si. Então, a soma parcial simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa soma parcial quando limN to +infty SN = limN to +infty (N+1) sin piN+1 tende ao infinito:
sin piN+1 approx piN+1
Sabemos que, para valores pequenos de (N+1) sin piN+1 approx (N+1) cdot piN+1 = pi , limN to +infty SN = pi . Então, quando é muito grande, é bem pequeno, e podemos aproximar:
Substituindo na expressão:
Portanto:

Resposta

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