Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma
.
Determine o valor da soma
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui! O exercício pede para determinar o valor da soma infinita:
Matéria envolvida: Séries infinitas e somas telescópicas.
O que precisamos: Entender como funciona uma soma telescópica e calcular o limite da soma parcial para encontrar o valor final da série.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral do termo da soma:
Essa estrutura é típica de uma soma telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos vários deles. A ideia é que, ao somar os termos, partes do termo
vão se anular com partes do termo anterior ou seguinte.
Passo 3
Vamos calcular a soma parcial até o termo
:
Ao expandir essa soma, observamos que muitos termos se cancelam:
Veja que
é igual a 0 (já que qualquer número multiplicado por zero dá zero), e os demais termos internos cancelam entre si. Então, a soma parcial simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite dessa soma parcial quando
tende ao infinito:
Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Então, quando
é muito grande,
é bem pequeno, e podemos aproximar:
Substituindo na expressão:
Portanto: