Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui! O exercício pede para determinar o valor da soma infinita:
Matéria envolvida: Séries infinitas e somas telescópicas.
O que precisamos: Entender como funciona uma soma telescópica e calcular o limite da soma parcial para encontrar o valor final da série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral do termo da soma:
Essa estrutura é típica de uma soma telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos vários deles. A ideia é que, ao somar os termos, partes do termo vão se anular com partes do termo anterior ou seguinte.

Passo 3

Vamos calcular a soma parcial até o termo :
Ao expandir essa soma, observamos que muitos termos se cancelam:
Veja que é igual a 0 (já que qualquer número multiplicado por zero dá zero), e os demais termos internos cancelam entre si. Então, a soma parcial simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa soma parcial quando tende ao infinito:
Sabemos que, para valores pequenos de , . Então, quando é muito grande, é bem pequeno, e podemos aproximar:
Substituindo na expressão:
Portanto:

Resposta

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Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma .
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Para cada uma das seguintes séries:
2)
Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries.
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
4) .