Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma
.
Calcule o valor da soma
Passo 1
Beleza, temos que calcular a soma infinita
. Vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observamos que o denominador pode ser expandido:
. Então, a soma fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir
. Assim, quando
,
, e a soma passa a ser:
Passo 4
Vamos agora decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
,
, e
tal que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 5
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos os valores de
,
,
e
. Após os cálculos, obtemos:
Então, a fração parcial fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na soma:
Podemos separar essa soma em quatro somas individuais:
Passo 7
Observamos que as somas telescopam. Após simplificar, obtemos que várias parcelas se cancelam e ficamos com termos limitantes. Calculando os limites, chegamos ao valor final da soma.
Resposta
O valor da soma
é
.
Exercícios relacionados
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Determine o valor da soma
Um engenheiro necessita fabricar uma peça metálica de formato de um arco de circunferência cujo comprimento externo seja igual a 8 cm . Essa peça metálica será fixada em um suporte, cuja medida do comprimento da base é igual a 6 cm , como ilustrado abaixo.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Determine o valor da soma
Para cada uma das seguintes séries:
2)
Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q.
seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries.
2)
Encontre uma função