Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma sumn=0^+infty 2 n+11[(n+5)(n+6)]^2.

Passo 1

Beleza, temos que calcular a soma infinita . Vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observamos que o denominador pode ser expandido: sumn=0^+infty 2n + 11(n + 5)^2 (n + 6)^2 . Então, a soma fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir sumk=5^+infty 2(k - 5) + 11k^2 (k + 1)^2 = sumk=5^+infty 2k - 10 + 11k^2 (k + 1)^2 = sumk=5^+infty 2k + 1k^2 (k + 1)^2 . Assim, quando , , e a soma passa a ser:

Passo 4

Vamos agora decompor a fração 2k + 1k^2 (k + 1)^2 = Ak + Bk^2 + Ck + 1 + D(k + 1)^2 em frações parciais. Queremos encontrar constantes 2k + 1 = A k (k + 1)^2 + B (k + 1)^2 + C k^2 (k + 1) + D k^2 , , , e tal que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 5

Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos os valores de A = 2, B = -1, C = -2, D = 1 , 2k + 1k^2 (k + 1)^2 = 2k - 1k^2 - 2k + 1 + 1(k + 1)^2 , e . Após os cálculos, obtemos:
Então, a fração parcial fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na soma:
sumk=5^+infty ( 2k - 1k^2 - 2k + 1 + 1(k + 1)^2 )
Podemos separar essa soma em quatro somas individuais:
2 sumk=5^+infty 1k - sumk=5^+infty 1k^2 - 2 sumk=5^+infty 1k + 1 + sumk=5^+infty 1(k + 1)^2

Passo 7

Observamos que as somas telescopam. Após simplificar, obtemos que várias parcelas se cancelam e ficamos com termos limitantes. Calculando os limites, chegamos ao valor final da soma.

Resposta

O valor da soma é .

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