Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma
.
Calcule o valor da soma
Passo 1
Beleza, temos que calcular a soma infinita
. Vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observamos que o denominador pode ser expandido:
. Então, a soma fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir
. Assim, quando
,
, e a soma passa a ser:
Passo 4
Vamos agora decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
,
, e
tal que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 5
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos os valores de
,
,
e
. Após os cálculos, obtemos:
Então, a fração parcial fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na soma:
Podemos separar essa soma em quatro somas individuais:
Passo 7
Observamos que as somas telescopam. Após simplificar, obtemos que várias parcelas se cancelam e ficamos com termos limitantes. Calculando os limites, chegamos ao valor final da soma.
Resposta
O valor da soma
é
.