Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma .

Passo 1

Beleza, temos que calcular a soma infinita . Vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observamos que o denominador pode ser expandido: . Então, a soma fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir . Assim, quando , , e a soma passa a ser:

Passo 4

Vamos agora decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , , , e tal que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 5

Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos os valores de , , e . Após os cálculos, obtemos:
Então, a fração parcial fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na soma:
Podemos separar essa soma em quatro somas individuais:

Passo 7

Observamos que as somas telescopam. Após simplificar, obtemos que várias parcelas se cancelam e ficamos com termos limitantes. Calculando os limites, chegamos ao valor final da soma.

Resposta

O valor da soma é .

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Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Um engenheiro necessita fabricar uma peça metálica de formato de um arco de circunferência cujo comprimento externo seja igual a 8 cm . Essa peça metálica será fixada em um suporte, cuja medida do comprimento da base é igual a 6 cm , como ilustrado abaixo.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Para cada uma das seguintes séries:
2)
Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries.