Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas
,
,
e
é girada em torno da reta
. Vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos) para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método e integrar as funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Temos a parábola
que abre para baixo, e estamos limitando essa região entre
e
. Além disso, temos uma linha horizontal em
. Quando giramos essa região em torno da reta
, formamos um sólido de revolução.
Passo 3
O método dos anéis nos ajuda a calcular o volume desse sólido. A ideia é dividir o sólido em “anéis” infinitamente finos, calcular o volume de cada anel e depois somar todos esses volumes integrando ao longo do intervalo de
.
Passo 4
Para aplicar o método, precisamos encontrar a distância de cada ponto da curva
até a reta
, que será o raio do nosso anel. Essa distância é dada por
. Substituindo
pela função da parábola, temos:
Passo 5
Agora, a área de um anel é dada por
. Portanto, a área do anel em termos de
será:
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos essa área desde
até
:
Passo 7
Vamos expandir a expressão
:
Assim, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Calculando cada integral:
Passo 10
Somando todos os resultados:
Para somar as frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
a.
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, da região
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b.
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c.
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