Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por y 1 - x^2, x = -2, x = 2 e y = 2 * (412 * pi / 15)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas , , e é girada em torno da reta . Vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos) para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método e integrar as funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Temos a parábola que abre para baixo, e estamos limitando essa região entre e . Além disso, temos uma linha horizontal em . Quando giramos essa região em torno da reta , formamos um sólido de revolução.

Passo 3

O método dos anéis nos ajuda a calcular o volume desse sólido. A ideia é dividir o sólido em “anéis” infinitamente finos, calcular o volume de cada anel e depois somar todos esses volumes integrando ao longo do intervalo de .

Passo 4

Para aplicar o método, precisamos encontrar a distância de cada ponto da curva até a reta , que será o raio do nosso anel. Essa distância é dada por . Substituindo pela função da parábola, temos:

Passo 5

Agora, a área de um anel é dada por . Portanto, a área do anel em termos de será:

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos essa área desde até :

Passo 7

Vamos expandir a expressão :
Assim, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Calculando cada integral:

Passo 10

Somando todos os resultados:
Para somar as frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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