Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e a gente vai resolver usando séries de potências em
. Basicamente, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de termos com potências de
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como substituí-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas
e
dessa série:
Essas derivadas serão usadas na nossa equação diferencial.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo as séries:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos ajustar os índices das séries para que todas estejam em termos de
:
- Para
, fazemos , então:
- A segunda parte já está em
:
- As outras duas séries também estão em
:
Passo 7
Vamos renomear
de volta para
na primeira série:
Passo 8
Agora, juntamos todas as séries em uma única soma:
Simplificando o termo do meio:
Passo 9
Para que a equação seja zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos as seguintes equações:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
:
Dado que
, substituindo
na série:
Dado que
, usando a expressão de
:
Passo 11
Com
e
, podemos calcular os demais coeficientes:
Para
:
E assim por diante…
Resposta
A solução da equação diferencial, utilizando uma série de potências em
, é:
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Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
e
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
a.
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Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
c.
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Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
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c.
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