Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
c.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e a gente precisa achar a solução dela usando séries de potências. Basicamente, vamos usar uma série em potências de
para expressar
e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação e as condições dadas. Para isso, vamos precisar lembrar como manipulamos séries de potências, calculamos derivadas e equacionamos os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo as séries:
Passo 4
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham potências de
:
Para o termo de
:
Para o termo
:
(Note que ajustamos o índice para começar de
)
E para o termo
:
Passo 5
Agora, juntamos todas as somas e igualamos a zero:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes:
Sabemos que
, o que significa que
.
E
, que a partir da série de
nos dá
.
Passo 8
Vamos calcular os primeiros coeficientes usando a relação de recorrência:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante, podemos continuar esse processo para obter mais coeficientes se necessário.
Resposta
A solução da equação diferencial é dada pela série de potências:
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
b.
b.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
e
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
c.
c.
(a) Trace a epitrocoide com equações
Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?