Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x - 1.
c. (x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0, y(1) = -1/2, y'(0) = 0

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um problema de equação diferencial onde precisamos encontrar a solução em forma de série de potências centrada em . O enunciado é:
Vamos precisar usar a teoria de séries de potências e calcular derivadas para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, expandimos , então:
E:

Passo 6

Agora, multiplicamos os termos:
Vamos reorganizar para ter potências de alinhadas.

Passo 7

Ajustamos os índices das somas para combinar os poderes de . Isso envolve reescrever as somas de modo que todas as potências sejam , onde é um índice comum. Depois de combinar os termos semelhantes, obteremos uma equação que nos permite encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes e . Sabemos que , então:
Para a derivada, :

Passo 9

Com os coeficientes iniciais determinados, usamos a relação de recorrência obtida no Passo 7 para calcular os demais coeficientes . Repetimos esse processo até obter uma expressão geral para .

Resposta

Assim, a solução do problema de valor inicial é dada pela série de potências:
Onde os coeficientes são determinados usando a relação de recorrência obtida durante a resolução.

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