Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
c.
c.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um problema de equação diferencial onde precisamos encontrar a solução em forma de série de potências centrada em
. O enunciado é:
Vamos precisar usar a teoria de séries de potências e calcular derivadas para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Ou seja:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, expandimos
, então:
E:
Passo 6
Agora, multiplicamos os termos:
Vamos reorganizar para ter potências de
alinhadas.
Passo 7
Ajustamos os índices das somas para combinar os poderes de
. Isso envolve reescrever as somas de modo que todas as potências sejam
, onde
é um índice comum. Depois de combinar os termos semelhantes, obteremos uma equação que nos permite encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes
e
. Sabemos que
, então:
Para a derivada,
:
Passo 9
Com os coeficientes iniciais determinados, usamos a relação de recorrência obtida no Passo 7 para calcular os demais coeficientes
. Repetimos esse processo até obter uma expressão geral para
.
Resposta
Assim, a solução do problema de valor inicial é dada pela série de potências:
Onde os coeficientes
são determinados usando a relação de recorrência obtida durante a resolução.
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Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
c.
c.
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
b.
b.
(a) Trace a epitrocoide com equações
Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
d.
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