(a) Trace a epitrocoide com equações
Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para traçarmos uma epitrocoide usando as equações paramétricas:
Além disso, precisamos descobrir qual intervalo do parâmetro
gera a curva completa. Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria e períodos de funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que é uma epitrocoide. É uma curva traçada por um ponto fixo em um círculo que rola sobre a parte externa de outro círculo. As equações dadas combinam duas funções trigonométricas com diferentes frequências.
Passo 3
Vamos analisar os períodos das funções envolvidas. O período de uma função
ou é
. Já para
e , o período é calculado dividindo
pela frequência:
Passo 4
Para que a epitrocoide seja completa, precisamos encontrar o menor intervalo de
onde ambas as funções completam um número inteiro de ciclos. Isso significa que o intervalo
deve ser múltiplo comum de
e
.
Passo 5
Vamos encontrar o menor múltiplo comum (MMC) dos períodos
e
. Representamos
como:
Dividindo ambos os lados por
:
Para que
seja inteiro,
deve ser múltiplo de 11. Assim, seja
, onde
é um inteiro.
Passo 6
Substituindo
na equação de
:
O menor valor positivo para
é 1, então o menor intervalo completo é
.
Resposta
O intervalo do parâmetro
que fornece a curva completa é de
a
.
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c.
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A) .
B) .
C) .
D) .
E) .
A)
B)
C)
D)
E)