Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x - 1.
d. (2x - x^2) y'' - 6(x - 1) y' - 4y = 0, y(1) = 0, y'(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial dada usando uma série de potências de x - 1. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares e Séries de Potências. Para resolver, vamos precisar expandir a solução em uma série de potências e ajustar os coeficientes para satisfazer a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências em torno de x = 1. Ou seja:
Isso significa que estamos expandindo y(x) em uma série onde cada termo é uma potência de x - 1 multiplicada por um coeficiente .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de y(x). A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Essas derivadas serão usadas para substituir na equação diferencial original.

Passo 4

Vamos substituir y(x), e na equação diferencial:
Substituindo as séries, temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Para , expandimos:
  2. Para , temos:
  3. Para , fica:

Passo 6

Agrupando todos os termos, a equação fica:

Passo 7

Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de . Fazendo isso:
  1. No primeiro termo, substituímos n por n + 1:
  2. Os outros termos já estão em termos de .
Então, a equação fica:

Passo 8

Agora, vamos combinar todas as séries em uma única soma:
Para n ≥ 1:
E para :
Como a soma deve ser igual a zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero.

Passo 9

Vamos igualar os coeficientes a zero:
  1. Para :
  2. Para n ≥ 1:
    Simplificando:

Passo 10

Agora, temos uma relação de recorrência para os coeficientes:
Vamos usar essa relação para encontrar os coeficientes, começando com e .

Passo 11

Desde que , vamos usar as condições iniciais para encontrar .
As condições dadas são e .
  1. :
    Substituindo x = 1 na série:
    Já confirmamos que .
  2. :
    Primeiro, encontraremos :
    Substituindo x = 1:
    Portanto, .

Passo 12

Agora, vamos encontrar os próximos coeficientes usando a relação de recorrência:
Com e :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 13

Então, a solução geral da equação diferencial, até o termo de , fica:
Substituindo os coeficientes encontrados:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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