Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial dada usando uma série de potências de
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares e Séries de Potências. Para resolver, vamos precisar expandir a solução em uma série de potências e ajustar os coeficientes para satisfazer a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Ou seja:
Isso significa que estamos expandindo
em uma série onde cada termo é uma potência de
multiplicada por um coeficiente
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Essas derivadas serão usadas para substituir na equação diferencial original.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo as séries, temos:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
-
Para
, expandimos: -
Para
, temos: -
Para
, fica:
Passo 6
Agrupando todos os termos, a equação fica:
Passo 7
Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Fazendo isso:
-
No primeiro termo, substituímos
por : -
Os outros termos já estão em termos de
.
Então, a equação fica:
Passo 8
Agora, vamos combinar todas as séries em uma única soma:
Para
:
E para
:
Como a soma deve ser igual a zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero.
Passo 9
Vamos igualar os coeficientes a zero:
-
Para
: -
Para
: Simplificando:
Passo 10
Agora, temos uma relação de recorrência para os coeficientes:
Vamos usar essa relação para encontrar os coeficientes, começando com
e
.
Passo 11
Desde que
, vamos usar as condições iniciais para encontrar
.
As condições dadas são
e
.
-
:
Substituindona série: Já confirmamos que. -
:
Primeiro, encontraremos: Substituindo: Portanto,.
Passo 12
Agora, vamos encontrar os próximos coeficientes usando a relação de recorrência:
Com
e
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
E assim por diante.
Passo 13
Então, a solução geral da equação diferencial, até o termo de
, fica:
Substituindo os coeficientes encontrados:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
c.
c.
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ao mês, durante sete meses, gerando R$1.785,00 de juros. O valor do capital investido é igual a:
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .
A)
B)
C)
D)
E)
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. Como não tinha todo o dinheiro, resolveu pagar em 18 parcelas iguais. Ao final dos 18 meses o carro custou ao cliente R$ . Sabendo que foi cobrado Juro Simples do cliente, qual foi a taxa mensal de juro utilizada nessa transação:
a)
b)
c)
d)