A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma afirmação envolvendo vetores e conceitos de dependência e independência linear. Especificamente, temos três vetores , e que são linearmente dependentes (LD), e a afirmação sugere que, a partir disso, o par de vetores é linearmente independente (LI).
Para resolver isso, vamos precisar entender:
O que significa vetores serem linearmente dependentes e independentes.
Como esses conceitos se relacionam quando consideramos subconjuntos de vetores.
Passo 2
Primeiro, dependeremos linearmente significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Já independência linear indica que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
A afirmação diz que se três vetores são dependentes, então qualquer par deles é independente. Vamos analisar isso.
Passo 3
Vamos ver se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, precisamos provar. Se for falsa, basta dar um exemplo que contrarie a afirmação.
Pensemos em três vetores que são todos múltiplos uns dos outros. Por exemplo, no espaço bidimensional :
Aqui, todos os três vetores estão na mesma direção. Isso significa que qualquer conjunto com mais de um vetor aqui é linearmente dependente.
Passo 4
No nosso exemplo, já vimos que , e são dependentes. Agora, vamos analisar o par .
Como é apenas duas vezes , podemos escrever . Isso mostra que é uma combinação linear de . Portanto, o par também é linearmente dependente.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é considerar os vetores , e em . Esses três vetores são linearmente dependentes, mas qualquer par deles, como , também é linearmente dependente, contrariando a afirmação original.