Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(a) centro
, um dos focos
e um dos vértices
.
(a) centro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá o centro da elipse, um dos focos e um dos vértices. Para encontrar a equação reduzida da elipse, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de geometria analítica, como os parâmetros
,
e
da elipse. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que temos:
- Centro da elipse:
- Foco da elipse:
- Vértice da elipse:
Sabemos que, na elipse, a distância do centro até um vértice é chamada de semi-eixo maior (
), e a distância do centro até um foco é chamada de
. Além disso, existe uma relação entre
,
(semi-eixo menor) e
:
Passo 3
Vamos calcular a distância entre o centro
e o foco
para encontrar
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, a distância do centro até o vértice
. Usamos novamente a fórmula da distância:
Substituindo os valores:
Então,
.
Passo 5
Com
e
conhecidos, podemos encontrar
usando a relação
:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
,
e o centro
, podemos escrever a equação reduzida da elipse. A forma geral da equação da elipse com eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas (como neste caso) é:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação reduzida da elipse é: