Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(a) centro O=(1,2), um dos focos F=(2,4) e um dos vértices V=(4,8).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá o centro da elipse, um dos focos e um dos vértices. Para encontrar a equação reduzida da elipse, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de geometria analítica, como os parâmetros , e da elipse. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que temos:
  • Centro da elipse: c^2 = a^2 - b^2
  • Foco da elipse:
  • Vértice da elipse:
Sabemos que, na elipse, a distância do centro até um vértice é chamada de semi-eixo maior ( ), e a distância do centro até um foco é chamada de . Além disso, existe uma relação entre , (semi-eixo menor) e :

Passo 3

Vamos calcular a distância entre o centro c = raiz(xF - xO)^2 + (yF - yO)^2 e o foco c = raiz(2 - 1)^2 + (4 - 2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5 para encontrar . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a = raiz(xV - xO)^2 + (yV - yO)^2 , a distância do centro até o vértice a = raiz(4 - 1)^2 + (8 - 2)^2 = raiz9 + 36 = raiz45 = 3raiz5 . Usamos novamente a fórmula da distância:
Substituindo os valores:
Então, .

Passo 5

Com (raiz5)^2 = (3raiz5)^2 - b^2 5 = 45 - b^2 b^2 = 45 - 5 b^2 = 40 b = raiz40 = 2raiz10 e conhecidos, podemos encontrar usando a relação :
Então, .

Passo 6

Agora que temos (x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1 , (x - 1)^240 + (y - 2)^245 = 1 e o centro , podemos escrever a equação reduzida da elipse. A forma geral da equação da elipse com eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas (como neste caso) é:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
(x - 1)^240 + (y - 2)^245 = 1

Exercícios relacionados