Sejam T: R^3 R^2 e S: R^3 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y, z)=(2 x, y+z) e S(x, y, z)=(x-z, y)
Determine:
© (2 T-5 S)(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformações lineares. A gente precisa calcular a expressão usando as definições das transformações e que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma transformação linear por um escalar e depois subtrair duas transformações. Multiplicar por 2 significa que vamos multiplicar cada componente da saída de por 2. O mesmo vale para multiplicar por 5. Depois, vamos subtrair os resultados desses dois produtos.

Passo 3

Vamos calcular 2T(x, y, z) = 2 cdot (2x, y + z) = (4x, 2(y + z)) = (4x, 2y + 2z) . Sabemos que , então multiplicando por 2:

Passo 4

Agora, vamos calcular 5S(x, y, z) = 5 cdot (x - z, y) = (5(x - z), 5y) = (5x - 5z, 5y) . Sabemos que , então multiplicando por 5:

Passo 5

Agora que temos (2T - 5S)(x, y, z) = (4x, 2y + 2z) - (5x - 5z, 5y) = (4x - (5x - 5z), (2y + 2z) - 5y) e = (4x - 5x + 5z, 2y + 2z - 5y) = (-x + 5z, -3y + 2z) , vamos subtrair os dois resultados:
Simplificando cada componente:

Resposta

(2T - 5S)(x, y, z) = (-x + 5z, -3y + 2z)

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