Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto O^prime=(-1,2).
(b) Escreva a equação da cônica y^2+x^2-4 y+2 x-4=0 nas coordenadas (u, v). Identifique esta cônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mudar o sistema de coordenadas para o ponto e reescrever a equação da cônica nas novas coordenadas . Aqui, vamos usar conhecimentos de transformação de coordenadas e identificar que tipo de cônica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como fazer a mudança de coordenadas. Se o novo sistema x = u - 1 e y = v + 2 está deslocado para , então:
Isso significa que substituiremos e na equação original por essas expressões em termos de e .

Passo 3

Vamos substituir y^2 + x^2 - 4y + 2x - 4 = 0 e (v + 2)^2 + (u - 1)^2 - 4(v + 2) + 2(u - 1) - 4 = 0 na equação:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar os termos:
v^2 + 4v + 4 + u^2 - 2u + 1 - 4v - 8 + 2u - 2 - 4 = 0
Simplificando:
v^2 + u^2 - 5 = 0

Passo 5

A equação resultante é:
u^2 + v^2 = 5
Essa é a equação de uma circunferência com raio e centro na origem do novo sistema .

Resposta

A equação da cônica nas coordenadas é , que representa uma circunferência com centro em e raio .

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