Seja uma matriz e suponha que seja uma solução do sistema linear . Determine se é invertível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de tamanho e sabemos que o vetor é uma solução do sistema linear . O objetivo é descobrir se a matriz é invertível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e propriedades de matrizes invertíveis.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existir outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso só é possível se o sistema tiver apenas a solução trivial .

Passo 3

No nosso caso, sabemos que é uma solução do sistema . Isso significa que existe pelo menos uma solução não trivial (ou seja, diferente de zero) para o sistema. Quando um sistema homogêneo tem soluções não triviais, isso indica que as colunas da matriz são linearmente dependentes.

Passo 4

A existência de soluções não triviais implica que o determinante da matriz é zero ( ). E sabemos que uma matriz só é invertível se seu determinante for diferente de zero. Portanto, se , a matriz não é invertível.

Resposta

A matriz não é invertível.

Exercícios relacionados

A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo. .
Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(a) centro , um dos focos e um dos vértices .
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(b) Escreva a equação da cônica nas coordenadas . Identifique esta cônica.
Encontre uma matriz quadrada A, não diagonal, tal que . Dica: compare com o Exercício 1 da Lista 1.