Seja uma matriz e suponha que seja uma solução do sistema linear . Determine se é invertível.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de tamanho e sabemos que o vetor é uma solução do sistema linear . O objetivo é descobrir se a matriz é invertível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e propriedades de matrizes invertíveis.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existir outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso só é possível se o sistema tiver apenas a solução trivial .
Passo 3
No nosso caso, sabemos que é uma solução do sistema . Isso significa que existe pelo menos uma solução não trivial (ou seja, diferente de zero) para o sistema. Quando um sistema homogêneo tem soluções não triviais, isso indica que as colunas da matriz são linearmente dependentes.
Passo 4
A existência de soluções não triviais implica que o determinante da matriz é zero (). E sabemos que uma matriz só é invertível se seu determinante for diferente de zero. Portanto, se , a matriz não é invertível.