A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá sendo pedido aqui! A questão fala sobre “independência linear” de vetores. A independência linear é um conceito da álgebra linear que nos diz se um conjunto de vetores é “independente”, ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros. A pergunta é: se dois vetores
e
são linearmente independentes, isso garante que quando adicionamos mais um vetor
, o trio
também seja linearmente independente? Vamos descobrir!
Passo 2
Vamos analisar se realmente toda vez que dois vetores são independentes, adicionar um terceiro vetor mantém essa independência. Para isso, vamos lembrar que dois vetores iguais ou múltiplos um do outro são dependentes, mas se não forem múltiplos, são independentes.
Para o trio
ser linearmente independente, nenhuma combinação linear desses vetores pode dar o vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 3
Vamos pensar numa situação em que
e
são independentes, mas adicionamos um
que é uma combinação de
e
. Por exemplo, suponha que
. Nesse caso:
Para isso ser verdadeiro, precisaríamos que:
Isso mostra que existem valores de
,
e
diferentes de zero que satisfazem a equação, o que significa que
são dependentes mesmo que
e
sejam independentes.
Resposta
FALSO. Um contra-exemplo é tomar
e
como vetores independentes e definir
. Assim,
são linearmente dependentes.