Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde temos a equação de uma cônica no plano . Nosso objetivo é mudar as coordenadas para simplificar a equação e identificar que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reorganizar os termos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada agrupando os termos de e :

Passo 3

Vamos isolar os termos que contêm e os que contêm :

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado em , tomamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agora completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Tomamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos constantes:
Calculando o lado direito:
E somando 100:
Portanto, a equação fica:

Passo 7

Para facilitar, vamos dividir ambos os lados da equação por 400:
Simplificando as frações:

Resposta

Após as mudanças de coordenadas, a equação reduzida é
Isso representa uma elipse com centro no ponto .

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