Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
25 x^2+75 x-9754+16 y^2-80 y=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde temos a equação de uma cônica no plano xy. Nosso objetivo é mudar as coordenadas para simplificar a equação e identificar que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reorganizar os termos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada agrupando os termos de x e y:
25x^2 + 75x - 9754 + 16y^2 - 80y = 0

Passo 3

Vamos isolar os termos que contêm x e os que contêm y:
25x^2 + 75x + 16y^2 - 80y = 9754

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x. Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2:
25(x^2 + 3x) + 16y^2 - 80y = 9754
Para completar o quadrado em x, tomamos metade do coeficiente de x, que é 32, e elevamos ao quadrado:
(32)^2 = 94
Então, adicionamos e subtraímos 94 dentro dos parênteses:
25[(x^2 + 3x + 94) - 94] + 16y^2 - 80y = 9754
Simplificando:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16y^2 - 80y = 9754

Passo 5

Vamos agora completar o quadrado para os termos de y. Primeiro, fatoramos o coeficiente de y^2:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y^2 - 5y) = 9754
Tomamos metade do coeficiente de y, que é 52, e elevamos ao quadrado:
(52)^2 = 254
Adicionamos e subtraímos 254 dentro dos parênteses:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16[(y^2 - 5y + 254) - 254] = 9754
Simplificando:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y - 52)^2 - 100 = 9754

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos constantes:
25(x + 32)^2 + 16(y - 52)^2 = 9754 + 2254 + 100
Calculando o lado direito:
9754 + 2254 = 12004 = 300
E somando 100:
300 + 100 = 400
Portanto, a equação fica:
25(x + 32)^2 + 16(y - 52)^2 = 400

Passo 7

Para facilitar, vamos dividir ambos os lados da equação por 400:
25(x + 32)^2400 + 16(y - 52)^2400 = 1
Simplificando as frações:
(x + 32)^216 + (y - 52)^225 = 1

Resposta

Após as mudanças de coordenadas, a equação reduzida é
(x + 32)^216 + (y - 52)^225 = 1
Isso representa uma elipse com centro no ponto (-32, 52).

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