Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria analítica onde temos a equação de uma cônica no plano . Nosso objetivo é mudar as coordenadas para simplificar a equação e identificar que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reorganizar os termos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada agrupando os termos de e :
Passo 3
Vamos isolar os termos que contêm e os que contêm :
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado em , tomamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Tomamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos reunir os termos constantes:
Calculando o lado direito:
E somando 100:
Portanto, a equação fica:
Passo 7
Para facilitar, vamos dividir ambos os lados da equação por 400:
Simplificando as frações:
Resposta
Após as mudanças de coordenadas, a equação reduzida é