Encontre todas as formas possíveis para uma matriz
em forma escalonada reduzida. Faça o mesmo para matrizes
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício sobre matrizes em forma escalonada reduzida. O problema pede para encontrarmos todas as formas possíveis de matrizes
e
que estejam nessa forma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma forma escalonada reduzida e como ela se aplica a matrizes de diferentes dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma forma escalonada reduzida por linhas. Uma matriz está nessa forma se:
- Pivôs: O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
- Zeros abaixo e acima dos pivôs: Cada pivô é o único número não nulo na sua coluna.
- Pivôs iguais a 1: Cada pivô é igual a 1.
- Linhas nulas, se houver, estão na parte de baixo.
Entender essas regras vai nos ajudar a listar todas as possíveis formas para as matrizes solicitadas.
Passo 3
Vamos começar com matrizes
. Essas matrizes têm 2 linhas e 2 colunas. Queremos todas as formas que seguem as regras da forma escalonada reduzida.
Passo 4
Para uma matriz
na forma escalonada reduzida, temos algumas possibilidades:
-
Matriz identidade:Aqui, ambos os pivôs são 1 e estão nas posições corretas, com zeros nas outras posições.
-
Matriz com um pivô na primeira coluna:Onde
pode ser qualquer número real. O pivô está na primeira coluna, e a segunda linha é toda zero. -
Matriz com um pivô na segunda coluna:Aqui, o pivô está na segunda coluna, e a primeira coluna não tem pivô.
Essas são todas as formas possíveis para matrizes
na forma escalonada reduzida.
Passo 5
Agora, vamos para as matrizes
, que têm 2 linhas e 3 colunas. Usando as mesmas regras, vamos listar todas as possíveis formas escalonadas reduzidas.
Passo 6
Para uma matriz
na forma escalonada reduzida, as possibilidades são:
-
Matriz identidade ampliada:Aqui, temos pivôs nas primeiras duas colunas, e a terceira coluna pode ser qualquer coisa.
-
Pivô apenas na primeira coluna:Onde
e são números reais. O pivô está na primeira coluna, e as outras colunas não têm pivô. -
Pivô na segunda coluna:Aqui, o pivô está na segunda coluna, e as outras colunas não têm pivô.
-
Pivô na terceira coluna:Nesse caso, o pivô está na terceira coluna, e as demais são zeros.
Essas cobrem todas as formas possíveis para matrizes
na forma escalonada reduzida.
Resposta
Para matrizes
em forma escalonada reduzida, as formas possíveis são:
-
-
onde é qualquer número real. -
Para matrizes
em forma escalonada reduzida, as formas possíveis são:
-
-
onde são números reais. -
onde é um número real. -
Essas são todas as formas possíveis para matrizes
e
que estão na forma escalonada reduzida.