Encontre todas as formas possíveis para uma matriz em forma escalonada reduzida. Faça o mesmo para matrizes .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício sobre matrizes em forma escalonada reduzida. O problema pede para encontrarmos todas as formas possíveis de matrizes e que estejam nessa forma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma forma escalonada reduzida e como ela se aplica a matrizes de diferentes dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma forma escalonada reduzida por linhas. Uma matriz está nessa forma se:
  1. Pivôs: O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
  2. Zeros abaixo e acima dos pivôs: Cada pivô é o único número não nulo na sua coluna.
  3. Pivôs iguais a 1: Cada pivô é igual a 1.
  4. Linhas nulas, se houver, estão na parte de baixo.
Entender essas regras vai nos ajudar a listar todas as possíveis formas para as matrizes solicitadas.

Passo 3

Vamos começar com matrizes . Essas matrizes têm 2 linhas e 2 colunas. Queremos todas as formas que seguem as regras da forma escalonada reduzida.

Passo 4

Para uma matriz na forma escalonada reduzida, temos algumas possibilidades:
  1. Matriz identidade:
    Aqui, ambos os pivôs são 1 e estão nas posições corretas, com zeros nas outras posições.
  2. Matriz com um pivô na primeira coluna:
    Onde pode ser qualquer número real. O pivô está na primeira coluna, e a segunda linha é toda zero.
  3. Matriz com um pivô na segunda coluna:
    Aqui, o pivô está na segunda coluna, e a primeira coluna não tem pivô.
Essas são todas as formas possíveis para matrizes na forma escalonada reduzida.

Passo 5

Agora, vamos para as matrizes , que têm 2 linhas e 3 colunas. Usando as mesmas regras, vamos listar todas as possíveis formas escalonadas reduzidas.

Passo 6

Para uma matriz na forma escalonada reduzida, as possibilidades são:
  1. Matriz identidade ampliada:
    Aqui, temos pivôs nas primeiras duas colunas, e a terceira coluna pode ser qualquer coisa.
  2. Pivô apenas na primeira coluna:
    Onde e são números reais. O pivô está na primeira coluna, e as outras colunas não têm pivô.
  3. Pivô na segunda coluna:
    Aqui, o pivô está na segunda coluna, e as outras colunas não têm pivô.
  4. Pivô na terceira coluna:
    Nesse caso, o pivô está na terceira coluna, e as demais são zeros.
Essas cobrem todas as formas possíveis para matrizes na forma escalonada reduzida.

Resposta

Para matrizes em forma escalonada reduzida, as formas possíveis são:
  1. onde é qualquer número real.
Para matrizes em forma escalonada reduzida, as formas possíveis são:
  1. onde são números reais.
  2. onde é um número real.
Essas são todas as formas possíveis para matrizes e que estão na forma escalonada reduzida.

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