Encontre todas as matrizes da forma , com , e números reais, tais que .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de matrizes! O problema pede para encontrar todas as matrizes da forma , onde , e são números reais, que satisfazem a equação . Vamos usar conhecimentos de multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes identidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a matriz por ela mesma para encontrar . A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Então, temos:

Passo 3

Sabemos que deve ser igual à matriz identidade . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da equação , temos que ou .
Da equação , igualmente, ou .
Agora, precisamos analisar a equação . Podemos fatorar :
Isso nos diz que ou ou .

Passo 5

Vamos considerar os diferentes casos possíveis com base nas soluções para e .
Caso 1:
Aqui, não importa o valor de e , desde que e . Então as soluções são:
Caso 2:
Isso implica que . Sabendo que , temos ou , o que nos dá ou , respectivamente.
Substituindo em , com :
Isso significa que pode ser qualquer número real.
Então as soluções nesse caso são:

Resposta

Todas as matrizes que satisfazem são:
  1. onde é qualquer número real
  2. onde é qualquer número real

Exercícios relacionados

Sejam e . Calcule . Obs: denota a transposta da matriz .
Seja . Encontre todos os valores de para os quais . Compare com o Exercício 9 da Lista 1.
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta: Se um operador linear admite como autovalor então T não é inversível.
A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo. .