Encontre todas as matrizes A da forma (lla & b 0 & c), com a, b e c números reais, tais que A^2=(ll1 & 0 0 & 1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de matrizes! O problema pede para encontrar todas as matrizes a & b 0 & c da forma 1 & 0 0 & 1 , onde , e são números reais, que satisfazem a equação . Vamos usar conhecimentos de multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes identidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a matriz A times A = a & b 0 & c times a & b 0 & c = a cdot a + b cdot 0 & a cdot b + b cdot c 0 cdot a + c cdot 0 & 0 cdot b + c cdot c = a^2 & ab + bc 0 & c^2 por ela mesma para encontrar . A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Então, temos:

Passo 3

Sabemos que 1 & 0 0 & 1 deve ser igual à matriz identidade a^2 = 1 ab + bc = 0 c^2 = 1 . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da equação b(a + c) = 0 , temos que ou .
Da equação , igualmente, ou .
Agora, precisamos analisar a equação . Podemos fatorar :
Isso nos diz que ou ou .

Passo 5

Vamos considerar os diferentes casos possíveis com base nas soluções para 1 & 0 0 & 1 , 1 & 0 0 & -1 , -1 & 0 0 & 1 , -1 & 0 0 & -1 e b(a - a) = 0 Rightarrow b cdot 0 = 0 .
Caso 1: 1 & b 0 & -1 , -1 & b 0 & 1 onde b in R
Aqui, não importa o valor de e , desde que e . Então as soluções são:
Caso 2:
Isso implica que . Sabendo que , temos ou , o que nos dá ou , respectivamente.
Substituindo em , com :
Isso significa que pode ser qualquer número real.
Então as soluções nesse caso são:

Resposta

Todas as matrizes 1 & 0 0 & 1 que satisfazem 1 & 0 0 & -1 são:
  1. -1 & 0 0 & 1
  2. -1 & 0 0 & -1
  3. 1 & b 0 & -1
  4. -1 & b 0 & 1
  5. onde é qualquer número real
  6. onde é qualquer número real

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