Encontre todas as matrizes da forma , com , e números reais, tais que .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de matrizes! O problema pede para encontrar todas as matrizes da forma , onde , e são números reais, que satisfazem a equação . Vamos usar conhecimentos de multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes identidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar a matriz por ela mesma para encontrar . A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Então, temos:
Passo 3
Sabemos que deve ser igual à matriz identidade . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da equação b(a + c) = 0 , temos que ou .
Da equação , igualmente, ou .
Agora, precisamos analisar a equação . Podemos fatorar :
Isso nos diz que ou ou .
Passo 5
Vamos considerar os diferentes casos possíveis com base nas soluções para 1 & 0 0 & 1 , 1 & 0 0 & -1 , -1 & 0 0 & 1 , -1 & 0 0 & -1 e b(a - a) = 0 Rightarrow b cdot 0 = 0 .
Caso 1: 1 & b 0 & -1 , -1 & b 0 & 1 onde b in R
Aqui, não importa o valor de e , desde que e . Então as soluções são:
Caso 2:
Isso implica que . Sabendo que , temos ou , o que nos dá ou , respectivamente.
Substituindo em , com :
Isso significa que pode ser qualquer número real.
Então as soluções nesse caso são:
Resposta
Todas as matrizes 1 & 0 0 & 1 que satisfazem 1 & 0 0 & -1 são: