Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta: Se um operador linear admite como autovalor então T não é inversível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre operadores lineares e autovalores. O que isso significa? Basicamente, um operador linear é como uma função que transforma vetores em um espaço vetorial . Um autovalor de um operador é um número tal que existe um vetor não nulo que, quando aplicamos a ele, resulta em vezes o próprio vetor , ou seja, . A questão quer saber se a afirmação “Se um operador linear tem como autovalor, então não é inversível” é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um operador ser inversível. Um operador linear é inversível se existe outro operador tal que , onde é o operador identidade (que não muda os vetores). Em termos simples, se é inversível, podemos “desfazer” a transformação feita por .
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com autovalores. Se tem como autovalor, significa que existe um vetor não nulo tal que . Ou seja, é mapeado para o vetor zero.
Passo 4
Se envia algum vetor não nulo para zero, isso implica que não é injetora (ou seja, não é um mapeamento um-para-um). Em álgebra linear, sabemos que um operador linear é inversível se, e somente se, ele é injetor e sobrejetor.
Passo 5
Então, se não é injetora porque existe um vetor não nulo que é mapeado para zero, isso significa que não pode ter uma inversa. Portanto, não é inversível.
Resposta
A proposição é verdadeira. Se um operador linear tem como autovalor, então não é inversível.