Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta: Se um operador linear
admite
como autovalor então T não é inversível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre operadores lineares e autovalores. O que isso significa? Basicamente, um operador linear é como uma função que transforma vetores em um espaço vetorial
. Um autovalor
de um operador
é um número tal que existe um vetor não nulo
que, quando aplicamos
a ele, resulta em
vezes o próprio vetor
, ou seja,
. A questão quer saber se a afirmação “Se um operador linear
tem
como autovalor, então
não é inversível” é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um operador ser inversível. Um operador linear
é inversível se existe outro operador
tal que
, onde
é o operador identidade (que não muda os vetores). Em termos simples, se
é inversível, podemos “desfazer” a transformação feita por
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com autovalores. Se
tem
como autovalor, significa que existe um vetor não nulo
tal que
. Ou seja,
é mapeado para o vetor zero.
Passo 4
Se
envia algum vetor não nulo para zero, isso implica que
não é injetora (ou seja, não é um mapeamento um-para-um). Em álgebra linear, sabemos que um operador linear é inversível se, e somente se, ele é injetor e sobrejetor.
Passo 5
Então, se
não é injetora porque existe um vetor não nulo que é mapeado para zero, isso significa que
não pode ter uma inversa. Portanto,
não é inversível.
Resposta
A proposição é verdadeira. Se um operador linear
tem
como autovalor, então
não é inversível.