Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta: Se um operador linear T: V V admite lambda=0 como autovalor então T não é inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre operadores lineares e autovalores. O que isso significa? Basicamente, um operador linear é como uma função que transforma vetores em um espaço vetorial V. Um autovalor lambda de um operador T é um número tal que existe um vetor não nulo v que, quando aplicamos T a ele, resulta em lambda vezes o próprio vetor v, ou seja, T(v) = lambda v. A questão quer saber se a afirmação “Se um operador linear T: V V tem lambda=0 como autovalor, então T não é inversível” é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um operador ser inversível. Um operador linear T é inversível se existe outro operador T^-1 tal que T circ T^-1 = T^-1 circ T = I, onde I é o operador identidade (que não muda os vetores). Em termos simples, se T é inversível, podemos “desfazer” a transformação feita por T.

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com autovalores. Se T tem lambda=0 como autovalor, significa que existe um vetor não nulo v tal que T(v) = 0 cdot v = 0. Ou seja, v é mapeado para o vetor zero.

Passo 4

Se T envia algum vetor não nulo para zero, isso implica que T não é injetora (ou seja, não é um mapeamento um-para-um). Em álgebra linear, sabemos que um operador linear é inversível se, e somente se, ele é injetor e sobrejetor.

Passo 5

Então, se T não é injetora porque existe um vetor não nulo que é mapeado para zero, isso significa que T não pode ter uma inversa. Portanto, T não é inversível.

Resposta

A proposição é verdadeira. Se um operador linear T: V V tem lambda=0 como autovalor, então T não é inversível.

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