A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente independência linear (LI) e dependência linear (LD) de vetores. A afirmação que precisamos analisar é:
Isso significa: “Se os vetores e são linearmente independentes, então os vetores , e são linearmente dependentes.”
Passo 2
Vamos relembrar o que significa independência linear e dependência linear:
Independência Linear (LI): Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores.
Dependência Linear (LD): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor do conjunto pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores.
Passo 3
Agora, analisando a afirmação: Se e são LI, isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. A questão está afirmando que, ao adicionarmos um terceiro vetor , o conjunto passa a ser LD.
Passo 4
Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, precisamos verificar se sempre que temos dois vetores LI, ao adicionarmos um terceiro vetor, o conjunto se torna LD. Se conseguirmos encontrar um exemplo onde dois vetores são LI e três vetores são também LI, então a afirmação é falsa.
Passo 5
Vamos considerar um exemplo no espaço :
Sejam:
Passo 6
Observamos que e são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Além disso, ao adicionarmos , temos que nenhum dos três vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Portanto, o conjunto também é linearmente independente.
Passo 7
Como encontramos um exemplo onde é LI e é também LI, a afirmação original é falsa.
Resposta
FALSO. Por exemplo, considere os vetores , e . Aqui, são linearmente independentes, e ao adicionar , o conjunto também permanece linearmente independente, contrariando a afirmação.