A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo. (u, v) LI Rightarrow(u, v, w) LD.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente independência linear (LI) e dependência linear (LD) de vetores. A afirmação que precisamos analisar é:
(u, v) LI Rightarrow (u, v, w) LD
Isso significa: “Se os vetores u e v são linearmente independentes, então os vetores u, v e w são linearmente dependentes.”

Passo 2

Vamos relembrar o que significa independência linear e dependência linear:
  • Independência Linear (LI): Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores.
  • Dependência Linear (LD): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor do conjunto pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores.

Passo 3

Agora, analisando a afirmação: Se u e v são LI, isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. A questão está afirmando que, ao adicionarmos um terceiro vetor w, o conjunto passa a ser LD.

Passo 4

Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, precisamos verificar se sempre que temos dois vetores LI, ao adicionarmos um terceiro vetor, o conjunto se torna LD. Se conseguirmos encontrar um exemplo onde dois vetores são LI e três vetores são também LI, então a afirmação é falsa.

Passo 5

Vamos considerar um exemplo no espaço R^3:
Sejam:
u = 1 0 0, v = 0 1 0, w = 0 0 1

Passo 6

Observamos que u e v são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Além disso, ao adicionarmos w, temos que nenhum dos três vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Portanto, o conjunto (u, v, w) também é linearmente independente.

Passo 7

Como encontramos um exemplo onde (u, v) é LI e (u, v, w) é também LI, a afirmação original é falsa.

Resposta

FALSO. Por exemplo, considere os vetores u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) e w = (0, 0, 1). Aqui, (u, v) são linearmente independentes, e ao adicionar w, o conjunto (u, v, w) também permanece linearmente independente, contrariando a afirmação.

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