Considere a matriz . Encontre soluções não-triviais (isto é, com X neq 0 ) dos sistemas A X=2 X e A X=4 X, onde X é uma matriz coluna 3 times 1. Mostre que o sistema A X=3 X não possui solução não-trivial. Dica: é a mesma coisa dizer que A X=2 X ou que (A-2 cdot I3) X=0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 0 & 1 & 3 e precisa encontrar vetores coluna que não sejam o vetor zero, ou seja, , que satisfazem as equações e . Além disso, temos que mostrar que não existe solução não-trivial para .
Para isso, vamos usar o conceito de autovalores e autovetores de matrizes. Basicamente, estamos procurando por escalas () e vetores que, quando multiplicamos a matriz por , o resultado é o próprio vetor multiplicado por . Isso nos leva a resolver sistemas lineares da forma , onde é a matriz identidade.