Considere a matriz . Encontre soluções não-triviais (isto é, com ) dos sistemas e , onde é uma matriz coluna . Mostre que o sistema não possui solução não-trivial. Dica: é a mesma coisa dizer que ou que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar vetores coluna que não sejam o vetor zero, ou seja, , que satisfazem as equações e . Além disso, temos que mostrar que não existe solução não-trivial para .
Para isso, vamos usar o conceito de autovalores e autovetores de matrizes. Basicamente, estamos procurando por escalas () e vetores que, quando multiplicamos a matriz por , o resultado é o próprio vetor multiplicado por . Isso nos leva a resolver sistemas lineares da forma , onde é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver . Isso é o mesmo que . Vamos calcular :
Agora, temos o sistema:
A primeira equação não nos dá informação, então vamos focar nas outras duas.
Passo 3
Da terceira equação, podemos expressar em função de :
Agora, substituímos na segunda equação:
Podemos resolver para :
Passo 4
Vamos expressar o vetor em termos de :
Como pode ser qualquer número real diferente de zero, temos uma família de soluções não-triviais. Por exemplo, se escolhermos , temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver . Seguindo o mesmo método, temos . Calculando :
O sistema fica:
Passo 6
Da primeira equação, temos:
Da terceira equação:
Substituindo e na segunda equação:
Isso nos mostra que pode ser qualquer número real, desde que e .
Passo 7
Portanto, o vetor pode ser escrito como:
Novamente, para , temos soluções não-triviais. Por exemplo, se :
Passo 8
Por último, vamos verificar se existe uma solução não-trivial para . Ou seja, queremos ver se tem soluções além do vetor zero.
Calculando :
O sistema é:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na segunda equação:
Resposta
Portanto, a única solução para é o vetor , ou seja, não há soluções não-triviais para esse sistema.