Considere a matriz A=(lll2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 0 & 1 & 3). Encontre soluções não-triviais (isto é, com X neq 0 ) dos sistemas A X=2 X e A X=4 X, onde X é uma matriz coluna 3 times 1. Mostre que o sistema A X=3 X não possui solução não-trivial. Dica: é a mesma coisa dizer que A X=2 X ou que (A-2 cdot I3) X=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 0 & 1 & 3 e precisa encontrar vetores coluna que não sejam o vetor zero, ou seja, , que satisfazem as equações e . Além disso, temos que mostrar que não existe solução não-trivial para .
Para isso, vamos usar o conceito de autovalores e autovetores de matrizes. Basicamente, estamos procurando por escalas ( ) e vetores que, quando multiplicamos a matriz por , o resultado é o próprio vetor multiplicado por . Isso nos leva a resolver sistemas lineares da forma , onde é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver A - 2I = 2-2 & 0 & 0 2 & 1-2 & 3 0 & 1 & 3-2 = 0 & 0 & 0 2 & -1 & 3 0 & 1 & 1 . Isso é o mesmo que 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 2x1 - x2 + 3x3 = 0 0x1 + x2 + x3 = 0 . Vamos calcular :
Agora, temos o sistema:
A primeira equação não nos dá informação, então vamos focar nas outras duas.

Passo 3

Da terceira equação, podemos expressar x2 + x3 = 0 Rightarrow x2 = -x3 em função de 2x1 - (-x3) + 3x3 = 0 Rightarrow 2x1 + x3 + 3x3 = 0 Rightarrow 2x1 + 4x3 = 0 :
2x1 = -4x3 Rightarrow x1 = -2x3
Agora, substituímos na segunda equação:
Podemos resolver para :

Passo 4

Vamos expressar o vetor X = x1 x2 x3 = -2x3 -x3 x3 = x3 -2 -1 1 em termos de X = -2 -1 1 :
Como pode ser qualquer número real diferente de zero, temos uma família de soluções não-triviais. Por exemplo, se escolhermos , temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver A - 4I = 2-4 & 0 & 0 2 & 1-4 & 3 0 & 1 & 3-4 = -2 & 0 & 0 2 & -3 & 3 0 & 1 & -1 . Seguindo o mesmo método, temos -2x1 + 0x2 + 0x3 = 0 2x1 - 3x2 + 3x3 = 0 0x1 + x2 - x3 = 0 . Calculando :
O sistema fica:

Passo 6

Da primeira equação, temos:
-2x1 = 0 Rightarrow x1 = 0
Da terceira equação:
x2 - x3 = 0 Rightarrow x2 = x3
Substituindo 2(0) - 3x3 + 3x3 = 0 Rightarrow 0 = 0 e na segunda equação:
Isso nos mostra que pode ser qualquer número real, desde que e .

Passo 7

Portanto, o vetor X = 0 x3 x3 = x3 0 1 1 pode ser escrito como:
X = 0 1 1
Novamente, para , temos soluções não-triviais. Por exemplo, se :

Passo 8

Por último, vamos verificar se existe uma solução não-trivial para A - 3I = 2-3 & 0 & 0 2 & 1-3 & 3 0 & 1 & 3-3 = -1 & 0 & 0 2 & -2 & 3 0 & 1 & 0 . Ou seja, queremos ver se -1x1 + 0x2 + 0x3 = 0 2x1 - 2x2 + 3x3 = 0 0x1 + x2 + 0x3 = 0 tem soluções além do vetor zero.
Calculando -1x1 = 0 Rightarrow x1 = 0 :
x2 = 0
O sistema é:
2(0) - 2(0) + 3x3 = 0 Rightarrow 3x3 = 0 Rightarrow x3 = 0
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na segunda equação:

Resposta

Portanto, a única solução para é o vetor , ou seja, não há soluções não-triviais para esse sistema.

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