Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
16 x^2-48 x-112-9 y^2-12 y=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação de uma cônica no plano 16 x^2-48 x-112-9 y^2-12 y=0 :
O que precisamos fazer aqui é mudar as coordenadas para deixar essa equação num formato mais simples, chamado de “forma reduzida”. Isso vai nos ajudar a identificar que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole, parábola, etc.). Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 16x^2 - 48x - 9y^2 - 12y = 112 e os de juntos:
Aqui, a gente moveu o -112 para o outro lado da equação.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 16(x^2 - 3x) - 9y^2 - 12y = 112 . Para facilitar, fatoramos o coeficiente de 16[(x^2 - 3x + 2.25) - 2.25] - 9y^2 - 12y = 112 :
16(x - 1.5)^2 - 36 - 9y^2 - 12y = 112
Para completar o quadrado dentro do parênteses, precisamos adicionar e subtrair :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de 16(x - 1.5)^2 - 36 - 9(y^2 + 43y) = 112 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de 16(x - 1.5)^2 - 36 - 9[(y + 23)^2 - 49] = 112 :
16(x - 1.5)^2 - 36 - 9(y + 23)^2 + 4 = 112
Completando o quadrado para , adicionamos e subtraímos :
Simplificando:

Passo 5

Vamos reunir tudo e simplificar a equação:
16(x - 1.5)^2 - 9(y + 23)^2 - 32 = 112
Adicionando 32 nos dois lados:
16(x - 1.5)^2 - 9(y + 23)^2 = 144
Dividindo toda a equação por 144 para deixar na forma reduzida:
(x - 1.5)^29 - (y + 23)^216 = 1

Resposta

Após mudar as coordenadas, a equação fica na forma reduzida:
(x - 1.5)^29 - (y + 23)^216 = 1
Isso representa uma hipérbole com centro em .

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