Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação de uma cônica no plano
:
O que precisamos fazer aqui é mudar as coordenadas para deixar essa equação num formato mais simples, chamado de “forma reduzida”. Isso vai nos ajudar a identificar que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole, parábola, etc.). Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e os de
juntos:
Aqui, a gente moveu o -112 para o outro lado da equação.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para facilitar, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, precisamos adicionar e subtrair
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado para
, adicionamos e subtraímos
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos reunir tudo e simplificar a equação:
Adicionando 32 nos dois lados:
Dividindo toda a equação por 144 para deixar na forma reduzida:
Resposta
Após mudar as coordenadas, a equação fica na forma reduzida:
Isso representa uma hipérbole com centro em
.