Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação de uma cônica no plano :
O que precisamos fazer aqui é mudar as coordenadas para deixar essa equação num formato mais simples, chamado de “forma reduzida”. Isso vai nos ajudar a identificar que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole, parábola, etc.). Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e os de juntos:
Aqui, a gente moveu o -112 para o outro lado da equação.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Para facilitar, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro do parênteses, precisamos adicionar e subtrair :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Completando o quadrado para , adicionamos e subtraímos :
Simplificando:

Passo 5

Vamos reunir tudo e simplificar a equação:
Adicionando 32 nos dois lados:
Dividindo toda a equação por 144 para deixar na forma reduzida:

Resposta

Após mudar as coordenadas, a equação fica na forma reduzida:
Isso representa uma hipérbole com centro em .

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Seja uma matriz tal que para qualquer matriz de tipo . Mostre que e .
Encontre uma matriz não nula tal que .
Considere a matriz . Encontre soluções não-triviais (isto é, com ) dos sistemas e , onde é uma matriz coluna . Mostre que o sistema não possui solução não-trivial. Dica: é a mesma coisa dizer que ou que .
A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo. .