Considere a matriz . Encontre uma matriz , tal que , mas . Dica: comece encontrando uma matriz coluna tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de tamanho e queremos encontrar outra matriz também tal que, quando multiplicarmos por , o resultado seja a matriz zero. Mas tem um detalhe: quando multiplicarmos por , não deve dar a matriz zero. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de espaços nulos e multiplicação de matrizes. Vamos precisar usar o espaço nulo de para achar uma matriz que satisfaça essas condições.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor coluna que, quando multiplicado pela matriz , resulte na matriz zero. Ou seja, queremos resolver .
Vamos escrever isso:

[
A X =


]
Isso resulta em um sistema de equações:
A equação 2 já nos dá . Substituindo isso na equação 1, temos , ou seja, .
Substituindo e na equação 3:
Isso significa que é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Vamos escolher , onde é um parâmetro.
Então, as soluções são:
Isso quer dizer que o espaço nulo de é gerado pelo vetor .

Passo 3

Agora que encontramos o vetor que está no espaço nulo de , vamos usar isso para construir a matriz .
Podemos construir como o produto de por qualquer vetor linha , ou seja:

[
B = X Y^T =


]
Para simplificar, vamos escolher . Assim, fica:

[
B =


]

Passo 4

Agora, precisamos verificar se e se .
Primeiro, vamos calcular :

[
A B =


]
Como esperado, .
Agora, vamos calcular :

[
B A =


]
Perceba que não é a matriz zero, já que há elementos diferentes de zero.

Resposta

A matriz que satisfaz mas é:

Exercícios relacionados

A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo. .
Considere a matriz . Encontre soluções não-triviais (isto é, com ) dos sistemas e , onde é uma matriz coluna . Mostre que o sistema não possui solução não-trivial. Dica: é a mesma coisa dizer que ou que .
Use o método de Gauss-Jordan para colocar as matrizes a seguir na sua forma escalonada reduzida.
(a)
©
(b)
(d)
Encontre condições sobre e c para que o sistema associado à matriz aumentada a seguir seja consistente (isto é, tenha solução):