Considere a matriz . Encontre uma matriz , tal que , mas . Dica: comece encontrando uma matriz coluna tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de tamanho e queremos encontrar outra matriz também tal que, quando multiplicarmos por , o resultado seja a matriz zero. Mas tem um detalhe: quando multiplicarmos por , não deve dar a matriz zero. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de espaços nulos e multiplicação de matrizes. Vamos precisar usar o espaço nulo de para achar uma matriz que satisfaça essas condições.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um vetor coluna que, quando multiplicado pela matriz , resulte na matriz zero. Ou seja, queremos resolver .
Vamos escrever isso:
[
A X =
]
Isso resulta em um sistema de equações:
⇒
⇒
⇒
A equação 2 já nos dá . Substituindo isso na equação 1, temos , ou seja, .
Substituindo e na equação 3:
Isso significa que é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Vamos escolher , onde é um parâmetro.
Então, as soluções são:
Isso quer dizer que o espaço nulo de é gerado pelo vetor .
Passo 3
Agora que encontramos o vetor que está no espaço nulo de , vamos usar isso para construir a matriz .
Podemos construir como o produto de por qualquer vetor linha , ou seja:
[
B = X Y^T =
]
Para simplificar, vamos escolher . Assim, fica:
[
B =
]
Passo 4
Agora, precisamos verificar se e se .
Primeiro, vamos calcular :
[
A B =
]
Como esperado, .
Agora, vamos calcular :
[
B A =
]
Perceba que não é a matriz zero, já que há elementos diferentes de zero.