Considere a matriz . Encontre uma matriz B, 3 times 3, tal que A B=0, mas B A neq 0. Dica: comece encontrando uma matriz coluna X=(lx y z) tal que A X=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de tamanho e queremos encontrar outra matriz também tal que, quando multiplicarmos por , o resultado seja a matriz zero. Mas tem um detalhe: quando multiplicarmos por , não deve dar a matriz zero. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de espaços nulos e multiplicação de matrizes. Vamos precisar usar o espaço nulo de para achar uma matriz que satisfaça essas condições.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um vetor coluna x y z que, quando multiplicado pela matriz A X = 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 1 & 1 & 3 x y z = 0 0 0 , resulte na matriz zero. Ou seja, queremos resolver -3z + 0 + 3z = 0 Rightarrow 0 = 0 .
Vamos escrever isso:
[
A X = X = -3t 0 t = t -3 0 1 -3 0 1
]
Isso resulta em um sistema de equações:
⇒
⇒
⇒
A equação 2 já nos dá . Substituindo isso na equação 1, temos , ou seja, .
Substituindo e na equação 3:
Isso significa que é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Vamos escolher , onde é um parâmetro.
Então, as soluções são:
Isso quer dizer que o espaço nulo de é gerado pelo vetor .
Passo 3
Agora que encontramos o vetor B = X Y^T = -3 0 1 a & b & c = -3a & -3b & -3c 0a & 0b & 0c 1a & 1b & 1c que está no espaço nulo de 1 & 0 & 0 , vamos usar isso para construir a matriz B = -3 times 1 & -3 times 0 & -3 times 0 0 times 1 & 0 times 0 & 0 times 0 1 times 1 & 1 times 0 & 1 times 0 = -3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 .
Podemos construir como o produto de por qualquer vetor linha , ou seja:
[
B = X Y^T =
]
Para simplificar, vamos escolher . Assim, fica:
[
B =
]
Passo 4
Agora, precisamos verificar se A B = 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 1 & 1 & 3 -3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 = 1 times -3 + 0 times 0 + 3 times 1 & 1 times 0 + 0 times 0 + 3 times 0 & 1 times 0 + 0 times 0 + 3 times 0 0 times -3 + 1 times 0 + 0 times 1 & 0 times 0 + 1 times 0 + 0 times 0 & 0 times 0 + 1 times 0 + 0 times 0 1 times -3 + 1 times 0 + 3 times 1 & 1 times 0 + 1 times 0 + 3 times 0 & 1 times 0 + 1 times 0 + 3 times 0 = -3 + 0 + 3 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 -3 + 0 + 3 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 e se B A = -3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 1 & 1 & 3 = -3 times 1 + 0 times 0 + 0 times 1 & -3 times 0 + 0 times 1 + 0 times 1 & -3 times 3 + 0 times 0 + 0 times 3 0 times 1 + 0 times 0 + 0 times 1 & 0 times 0 + 0 times 1 + 0 times 1 & 0 times 3 + 0 times 0 + 0 times 3 1 times 1 + 0 times 0 + 0 times 1 & 1 times 0 + 0 times 1 + 0 times 1 & 1 times 3 + 0 times 0 + 0 times 3 = -3 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & -9 + 0 + 0 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 3 + 0 + 0 = -3 & 0 & -9 0 & 0 & 0 1 & 0 & 3 .
Primeiro, vamos calcular :
[
A B =
]
Como esperado, .
Agora, vamos calcular :
[
B A =
]
Perceba que não é a matriz zero, já que há elementos diferentes de zero.
Resposta
A matriz B = -3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 que satisfaz mas é: