A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
.
Passo 1
No enunciado, temos a afirmação: “Se um conjunto de três vetores
é linearmente dependente (LD), então o conjunto formado apenas por
é linearmente independente (LI)”. Vamos explorar os conceitos de dependência e independência linear para responder se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente:
-
Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) desses vetores que resulta no vetor zero. Matematicamente, isso significa que existem escalares
, , não todos zero tais que: -
Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
Agora, a afirmação está dizendo que se três vetores são LD, então os dois primeiros vetores desse conjunto são LI. Vamos verificar se isso sempre acontece.
Passo 3
Para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um contra-exemplo.
Contra-exemplo:
Considere os seguintes vetores no espaço
:
Observamos que:
Portanto, todos os três vetores são múltiplos uns dos outros, o que significa que o conjunto
é linearmente dependente porque:
Aqui, temos uma combinação linear não trivial que resulta em zero.
Agora, vamos analisar o conjunto
:
Isso mostra que
também é linearmente dependente, pois existe uma combinação linear não trivial que dá zero.
Esse contra-exemplo demonstra que é possível ter
sendo LD e, ao mesmo tempo,
também sendo LD, contrariando a afirmação inicial.
Resposta
A afirmação é FALSA. Por exemplo, se
for múltiplo de
, então tanto
quanto
são linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Considere a matriz
no espaço vetorial real
das matrizes
. Encontre o vetor coordenada de
em relação a:
(a) A base ,
(b) A base canônica .
(a) A base
(b) A base canônica
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
© Esboce a curva no sistema de coordenadas