A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
.

Passo 1

No enunciado, temos a afirmação: “Se um conjunto de três vetores é linearmente dependente (LD), então o conjunto formado apenas por é linearmente independente (LI)”. Vamos explorar os conceitos de dependência e independência linear para responder se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente:
  • Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) desses vetores que resulta no vetor zero. Matematicamente, isso significa que existem escalares , , não todos zero tais que:
  • Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
Agora, a afirmação está dizendo que se três vetores são LD, então os dois primeiros vetores desse conjunto são LI. Vamos verificar se isso sempre acontece.

Passo 3

Para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um contra-exemplo.
Contra-exemplo:
Considere os seguintes vetores no espaço :
Observamos que:
Portanto, todos os três vetores são múltiplos uns dos outros, o que significa que o conjunto é linearmente dependente porque:
Aqui, temos uma combinação linear não trivial que resulta em zero.
Agora, vamos analisar o conjunto :
Isso mostra que também é linearmente dependente, pois existe uma combinação linear não trivial que dá zero.
Esse contra-exemplo demonstra que é possível ter sendo LD e, ao mesmo tempo, também sendo LD, contrariando a afirmação inicial.

Resposta

A afirmação é FALSA. Por exemplo, se for múltiplo de , então tanto quanto são linearmente dependentes.

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Considere a matriz no espaço vetorial real das matrizes . Encontre o vetor coordenada de em relação a:
(a) A base ,
(b) A base canônica .
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
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(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .