A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
(u, v, w) LD Rightarrow(u, v) LI.

Passo 1

No enunciado, temos a afirmação: “Se um conjunto de três vetores é linearmente dependente (LD), então o conjunto formado apenas por é linearmente independente (LI)”. Vamos explorar os conceitos de dependência e independência linear para responder se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente:
  • Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) desses vetores que resulta no vetor zero. Matematicamente, isso significa que existem escalares au + bv + cw = 0 , au + bv = 0 Rightarrow a = b = 0 , não todos zero tais que:
  • Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
Agora, a afirmação está dizendo que se três vetores são LD, então os dois primeiros vetores desse conjunto são LI. Vamos verificar se isso sempre acontece.

Passo 3

Para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um contra-exemplo.
Contra-exemplo:
Considere os seguintes vetores no espaço u = 10, v = 20, w = 30 :
v = 2u e w = 3u
Observamos que:
u + (-12)v + 0w = 0
Portanto, todos os três vetores são múltiplos uns dos outros, o que significa que o conjunto v = 2u Rightarrow v - 2u = 0 é linearmente dependente porque:
Aqui, temos uma combinação linear não trivial que resulta em zero.
Agora, vamos analisar o conjunto :
Isso mostra que também é linearmente dependente, pois existe uma combinação linear não trivial que dá zero.
Esse contra-exemplo demonstra que é possível ter sendo LD e, ao mesmo tempo, também sendo LD, contrariando a afirmação inicial.

Resposta

A afirmação é FALSA. Por exemplo, se for múltiplo de , então tanto quanto são linearmente dependentes.

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